Równanie z parametrem

[macikiw2]

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) funkcja ma pierwiastki które tworzą ciąg geometryczny ?
\(\displaystyle{ x ^{3}+m \cdot x ^{2} -6x+8}\)

[bakala12]

Oznacz pierwiastki jako \(\displaystyle{ x_{1}=a, \ x_{2}=aq , \ x_{3}=aq^{2}}\) i skorzystaj ze wzorów Viete'a (konkretnie z ostatniego, policzysz jeden z pierwiastków). Następnie wstaw go za \(\displaystyle{ x}\) i wylicz parametr.

[macikiw2]

W równaniu 3 stopnia korzystać ze wzorów vieta ?

[rtuszyns]

W równaniu 3 stopnia korzystać ze wzorów vieta ?

Oczywiście da się:

[szachimat]

Podam może trochę skomplikowany sposób, ale często wykorzystywany w tego typu zadaniach:
Skoro pierwiastkami są: \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ aq}\), \(\displaystyle{ aq^2}\), to w postaci iloczynowej wielomian ma postać: \(\displaystyle{ (x-a)(x-aq)(x-aq^2)}\)
Po wymnożeniu i uporządkowaniu otrzymamy:
\(\displaystyle{ x^3-(a+aq+aq^2)x^2+aq(a+aq+aq^2)x-(aq)^3}\)
Z treści wiemy, że wielomian ten jest postaci: \(\displaystyle{ x ^{3}+m \cdot x ^{2} -6x+8}\)
A zatem:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -(a+aq+aq^2)=m\\ aq(a+aq+aq^2)=-6\\ (aq)^3=-8 \end{cases}}\)
Podstawiając z pierwszego równania \(\displaystyle{ a+aq+aq^2=-m}\) do drugiego mamy:
\(\displaystyle{ aq \cdot (-m)=-6 \Rightarrow aq= \frac{6}{m}}\)
Czyli trzecie równanie przyjmie postać:
\(\displaystyle{ ( \frac{6}{m})^3=-8}\)
Stąd \(\displaystyle{ m=-3}\)

[macikiw2]

Hm..Ciekawe rozwiązanie, dzięki.
Wzorów Viet'a dla równania trzeciego stopnia w liceum chyba nie ma, ale będę miał na uwadze.

[bakala12]

szachimat, Twoja idea jest tak naprawdę wyprowadzeniem wzorów Viete'a dla równania stopnia trzeciego Więc oba sposoby są tak naprawdę tym samym.