miejsce zerowe wielomianu

[jutrvy]

Tak, ale z zasadniczego twierdzenia algebry:

\(\displaystyle{ 2x^3+2x^2+2x-\frac{1}{2} = (ax^2+bx+c)(dx + e)\ldots}\)

Powodzenia w rachunkach...

[Mariusz M]

jutrvy, ten pomysł nic nie da

\(\displaystyle{ x=u+v-\frac{1}{3}}\)

Po podstawieniu pogrupuj wyrazy i zapisz równanie w postaci układu równań
przypominającego wzory Vieta trójmianu kwadratowego

Jeżeli miałeś trygonometrię to możesz ze wzoru na cosinus kąta potrojonego próbować

[jutrvy]

Hmm... przyznaję, że nie liczyłem tego, ale kiedyś miałem wielomian trzeciego stopnia do policzenia (był bardzo złośliwy) i tym sposobem go policzyłem. Mógłbyś powiedzieć czemu nic nie da?

[Medea 2]

Podstawienie \(\displaystyle{ x = t- 1/3}\) prowadzi do \(\displaystyle{ 108t^3 +72t-55=0}\), dalej wzory Cardano. Jeden pierwiastek jest rzeczywisty, dwa zespolone.

\(\displaystyle{ t = \frac{1}{6} \left(\sqrt[3]{55+3\sqrt{393}} - \frac{8}{\sqrt[3]{55+3\sqrt{393}}} \right)}\)

[Mariusz M]

jutrvy, gdybyś chciał rozwiązywać układ równań na te współczynniki
to dostałbyś równanie trzeciego stopnia, poza tym \(\displaystyle{ x=-\frac{e}{d}}\)

Jeśli pamiętasz uzupełnianie do kwadratu to tutaj możesz zastosować coś podobnego

\(\displaystyle{ 2x^3+2x^2+2x-\frac{1}{2}=0\\
4x^3+4x^2+4x-1=0\\
x=y-\frac{1}{3}\\
4\left(y-\frac{1}{3} \right)^3+4\left( y-\frac{1}{3}\right)^2+4\left( y-\frac{1}{3}\right)-1=0\\
4\left( y^3-y^2+\frac{1}{3}y-\frac{1}{27}\right)+4y^2-\frac{8}{3}y+\frac{4}{9}+4y-\frac{4}{3}-1=0\\
4y^3-4y^2+\frac{4}{3}y-\frac{4}{27}+4y^2-\frac{8}{3}y+\frac{4}{9}+4y-\frac{4}{3}-1=0\\
4y^3+\frac{8}{3}y-\frac{55}{27}=0\\
y^3+\frac{2}{3}y-\frac{55}{108}=0\\
y^3=-\frac{2}{3}y+\frac{55}{108}\\
y^3+3y^2z+3yz^2+z^3=3y^2z+3yz^2+z^3-\frac{2}{3}y+\frac{55}{108}\\
\left( y+z\right)^3=y\left( 3yz+3z^2-\frac{2}{3}\right)+z^3+\frac{55}{108}\\
3yz+3z^2-\frac{2}{3}=0\\
3yz+3z^2=\frac{2}{3}\\
3z\left( y+z\right)=\frac{2}{3}\\
y+z=\frac{2}{9z}\\
\frac{8}{729z^3}=z^3+\frac{55}{108}\\
z^6+\frac{55}{108}z^3-\frac{8}{729}=0\\
\left(z^3+\frac{55}{216}\right) ^2-\frac{3025+512}{46656}=0\\
\left(z^3+\frac{55}{216}\right) ^2-\frac{3537}{46656}=0\\
\left(z^3+\frac{55-3\sqrt{393}}{216}\right)\left(z^3+\frac{55+3\sqrt{393}}{216} \right)=0\\
z= -\frac{1}{6} \cdot \sqrt[3]{55+3\sqrt{393}}\\
\left( y-\frac{1}{6} \cdot \sqrt[3]{55+3\sqrt{393}}\right)^3=-\frac{55+3\sqrt{393}}{216}+\frac{110}{216}\\}\)
\(\displaystyle{ \left( y-\frac{1}{6} \cdot \sqrt[3]{55+3\sqrt{393}}\right)^3=\frac{55-3\sqrt{393}}{216} \\
\left(y-\frac{1}{6} \cdot \sqrt[3]{55+3\sqrt{393}} -\frac{1}{6} \sqrt[3]{55-3\sqrt{393}} \right)Q\left( y\right)=0\\
y-\frac{1}{6} \cdot \sqrt[3]{55+3\sqrt{393}} -\frac{1}{6} \sqrt[3]{55-3\sqrt{393}} =0\\
y=\frac{1}{6}\left(\sqrt[3]{55+3\sqrt{393}}+\sqrt[3]{55-3\sqrt{393}} \right)\\
x=\frac{1}{6}\left(\sqrt[3]{55+3\sqrt{393}}+\sqrt[3]{55-3\sqrt{393}}-2 \right)}\)

Aby dostać pozostałe pierwiastki trzeba podzielić

[athame]

Nie ma pozostałych pierwiastków. Ten wielomian ma tylko dwa miejsca zerowe (przynajmniej dopóki ograniczamy się do liczb rzeczywistych).

[szachimat]

Potrzebuję obliczyć miejsca zerowe punkty które będę mógł zaznaczyć na wykresie współrzędnych na osi X. Pochodne już wyznaczyłem ale żeby obliczyć ekstrema muszę obliczyć miejsca zerowe.
Nie bardzo umiem to obliczać

Czasem w matematyce uzyskanie odpowiedzi na swoje pytanie w niczym Ci się nie przyda. A zatem widać, że przykład jest albo źle przepisany, albo nie w nim jest aż tak istotne wyznaczenie dokładnego punktu przecięcia z osią OX. Ważne jest, abyś wiedział, że takie istnieje (możesz go sobie do dalszego opisu nazwać jako "a" i mniej więcej oszacować jaka to jest liczba).
Nie miałeś polecenia "wyznacz miejsca zerowe", tylko "zbadaj przebieg zmienności funkcji", a zatem żaden nauczyciel nie oczekuje, żebyś popisał się w swoim rozwiązaniu i powiedział, że miejscem zerowym jest liczba, którą napisał mariuszm.

[Jarop5]

Masz rację mam zbadać przebieg zmienności funkcji i naszkicować jej wykres. Wg schematu:
1) wyznaczenie dziedziny funkcji,
2) wyznaczenie punktów przecięcia z osiami OX (miejsca zerowe) oraz OY
3) określenie parzystości funkcji
4) wyznaczenie asymptot pionowej, poziomej i ukośnej
5) wyznaczenie pochodnej funkcji, oraz na jej podstawie
5a) wyznaczenie monotoniczności
5b) wyznaczenie ekstremów
6) wyznaczenie drugiej pochodnej, oraz na jej podstawie
6a) wyznaczenie wklęsłości i wypukłości
6b) wyznaczenie punktów przegięcia
7) tabelka podsumowująca
8) naszkicowanie wykresu funkcji
9) wyznaczenie zbioru wartości