Znajdź parametr m dla którego wielomian...

[kiper100]

\(\displaystyle{ W(x)= x^{7}-3mx ^{4}+(2m-4)x}\) ma trzy pierwiastki rzeczywiste. Wyznaczyć wartość parametru m gdy suma sześcianów pierwiastków (rzeczywistych) \(\displaystyle{ W(x)}\) jest równa \(\displaystyle{ 6}\).

Z kroków które mnie do czegoś doprowadziły to
\(\displaystyle{ W(x)=x \left( x^{6}-3mx ^{3}+(2m-4)\right)}\)
Co daje nam jeden pierwiastek.

Wolfram mówi:
\(\displaystyle{ m=2}\)
\(\displaystyle{ x= 0; 0; \sqrt[3]{6}}\)

Ale nie mam pomysłu jak do tego dojść.

[Kacperdev]

W nawiasie podstawienie:

\(\displaystyle{ t=x^3}\)

[kiper100]

Sprawdziłem już wcześniej:
\(\displaystyle{ 9 m^{2}-8m+16}\)
I tu delta ujemna, czyli równanie ma dwa rozwiązania niezależnie od m
\(\displaystyle{ 64-576}\)

[szachimat]

\(\displaystyle{ 9 m^{2}-8m+16}\) - to jest delta i jest ona zawsze dodatnia
Ze wzorów Viete'a:
\(\displaystyle{ t _{1}+ t_{2}=3m}\)
\(\displaystyle{ x _{1} ^{3}+x _{2} ^{3} =3m}\)
Ponieważ trzeci pierwiastek to \(\displaystyle{ x_{3}=0}\), więc:
\(\displaystyle{ x _{1} ^{3}+x _{2} ^{3}+x _{3} ^{3} =3m}\)
Z treści wiemy, że ma to być równe 6, więc \(\displaystyle{ m=2}\)

Szach i Mat

[kiper100]

Dziękuję pięknie

Wynik:
\(\displaystyle{ x _{1}=0}\)
\(\displaystyle{ x _{2}=0}\)
\(\displaystyle{ x _{3}= \sqrt[3]{6}}\)