Nierównosć z modułem

[adinho58]

\(\displaystyle{ x ^{3} +3|x| + x \ge 0}\) Jak tego tupu nierówności się rozwiązuje ?

[Michalinho]

Na przypadki.

[adinho58]

Możesz jaśniej ?

[Michalinho]

\(\displaystyle{ 1^\circ x\ge 0}\):
\(\displaystyle{ x^3+3x+x\ge 0 \Leftrightarrow x^3+4x=0 \Leftrightarrow x(x^2+4)\ge 0}\), ale
\(\displaystyle{ x\ge 0, x^2+4>0}\), więc wszystkie \(\displaystyle{ x\ge 0}\) spełniają tę nierówność.

\(\displaystyle{ 2^\circ x<0}\):
\(\displaystyle{ x^3-3x+x\ge 0 \Leftrightarrow x^3-2x\ge 0 \Leftrightarrow x(x^2-2)\ge 0 \Leftrightarrow x(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})\ge 0}\). Rysujesz sobie szkic i odczytujesz rozwiązanie:
\(\displaystyle{ x\in \left\langle -\sqrt{2}; 0 \right \rangle \cup \left\langle 0; \infty \right)}\). Bierzesz teraz część wspólną z \(\displaystyle{ x<0}\). A więc z tego przypadku mamy:
\(\displaystyle{ x\in \left\langle -\sqrt{2}; 0 \right)}\)

Teraz sumujesz rozwiązania przypadków i otrzymujesz ostatecznie:
\(\displaystyle{ x\in \left\langle -\sqrt{2}; \infty\right)}\)