Równanie z parametrem

[dejv96]

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ p}\) równanie \(\displaystyle{ x^{3} - (p+1) x^{2} +px = 0}\) ma trzy różne pierwiastki, przy czym jeden z nich jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych?
Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania.
Na razie doszedłem do takiego punktu:
\(\displaystyle{ x(x^{2} - (p+1)x +p)=0}\)
\(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} =0 \Leftrightarrow p=-1}\)

[Zahion]

Wydaje mi się, że warto byłoby policzyć te pierwiastki. Wtedy uda Ci się je pogrupować ze względu na to, który jest mniejszy, a który większy, co da Ci już praktycznie rozwiązanie.

[dejv96]

tak, tylko, że:
\(\displaystyle{ \Delta > 0 \Leftrightarrow (p+1)^{2} - 4p > 0}\)
\(\displaystyle{ p^{2} + 2p +1-4p>0 \Leftrightarrow p^{2} -2p + 1>0}\)
I z tego mamy jedno miejsce zerowe...

[Zahion]

Z czego mamy jedno miejsce zerowe ?

[SGN]

Masz jedno x wyłączone przed nawias - pierwsze miejsce zerowe.
Teraz jest kilka przypadków; Przydadzą się wzory Vieta. Deltę też już masz.
W drugiej linijce zapomniałeś dopisać jedno x!

[szachimat]

Rozważyłeś możliwość, że liczby \(\displaystyle{ x _{1},0, x_{2}}\) dają ciąg arytmetyczny.
Pozostają jeszcze układy \(\displaystyle{ x _{1},x_{2},0}\) i \(\displaystyle{ 0,x _{1},x_{2}}\). Ale one sprowadzają się do tego, że jeden pierwiastek jest dwa razy większy od drugiego.
A zatem przyjmijmy, że jeden pierwiastek wynosi "t", a drugi "2t".
Wówczas mamy: \(\displaystyle{ (x-t) \cdot (x-2t)= x^{2}-3t+ 2t^{2}}\)
Z drugiej strony ta postać ma być równoważna postaci: \(\displaystyle{ x^{2} - (p+1)x +p}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ p+1=3t \Rightarrow t= \frac{1}{3}p+ \frac{1}{3}}\)
oraz \(\displaystyle{ 2t^{2}=p}\)

Po połączeniu i rozwiązaniu otrzymamy jeszcze dwie możliwości: \(\displaystyle{ p= \frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ p=2}\)

Szach i Mat