Kilka trudności

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
MrStupid69
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 11 lis 2014, o 18:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 13 razy

Kilka trudności

Post autor: MrStupid69 »

Witam mam trudności z tymi zadankami :cry:
1. Liczba\(\displaystyle{ \frac{6}{ \sqrt[3]{4}+ \sqrt[3]{2} }}\) jest równa:
\(\displaystyle{ a) 2 \sqrt[3]{12}-2}\) b)\(\displaystyle{ \sqrt[3]{12}-2+ \sqrt[3]{4}}\) c) \(\displaystyle{ 2 \sqrt[3]{2}-2 \sqrt[3]{4}}\) d)\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}-2+ \sqrt[3]{4}}\)
2. Jeżeli \(\displaystyle{ 2^{a}=3, 3^{b}=5, 5^{c}=2 to a*b*c}\) jest równy:
A)\(\displaystyle{ log _2{5}}\)
B)\(\displaystyle{ log_5{2}}\)
C)1
D)2
3. Oblicz sumę szóstych potęg pierwiastków równania \(\displaystyle{ x^{2} + x - 1 = 0}\).
Wiem, że trzeba skorzystać z Viete'a, lecz mam problem z przekształtem.
4. Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x spełniona jest nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4} x^{4}+ \frac{1}{3} x^{3} > 3x^{2} - 16}\)
Mam problem z rozłożeniem.
Awatar użytkownika
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1481
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Kilka trudności

Post autor: NogaWeza »

Do zadania nr. 3

\(\displaystyle{ (x_{1} + x_{2})^3 = x_{1}^3 + 3x_{1}^2 x_{2} + 3x_{1}x_{2}^2 + x_{2}^3}\) czyli, skoro Ciebie interesuje co możesz wycisnąć z wyrażenia\(\displaystyle{ x_{1}^3 +x_{2}^3}\) to całą reszte wyrzucasz na drugą stronę, ostatecznie otrzymujesz: \(\displaystyle{ (x_{1} + x_{2})^3 - 3x_{1}x_{2}(x_{1} +x_{2}) = x_{1}^3 + x_{2}^3}\), wyłączenie przed nawias to też nic odkrywczego. A potem \(\displaystyle{ x_{1}^6 + x_{2}^6 = (x_{1}^3 + x_{2}^3)^2 - 2x_{1}^3 x_{2}^3}\) - to przekształcenie ze wzoru \(\displaystyle{ (a+b)^2 = a^2 +2ab +b^2}\) czyli \(\displaystyle{ a^2 + b^2 = (a+b)^2 -2ab}\)


W zadaniu 4. trzeba skorzystać z analizy, konkretnie z rachunku pochodnych. Przerzuć wszystko na lewą stronę i rozpatrz funkcję. Zauważ, że w \(\displaystyle{ + \infty}\) i \(\displaystyle{ - \infty}\) wartości funkcji dążą do \(\displaystyle{ + \infty}\), więc jeśli funkcja w minimach lokalnych będzie miała wartości dodatnie, to będzie je miała każdego argumentu.


Edit. A to nie jest przypadkiem próbna maturka z pewnej stonki z zadaniami, której nazwy nie przytaczam, by nie być posądzonym o reklamę? Bo coś mi się wydaje, że skądś te zadania kojarzę.
szachimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1674
Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lubelskie
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 354 razy

Kilka trudności

Post autor: szachimat »

Ad 2
\(\displaystyle{ a= log_{2} 3}\)
\(\displaystyle{ b=log _{3}5= \frac{log _{2}5 }{ log_{2}3 }}\)
\(\displaystyle{ c=log_{5}2= \frac{log _{2}2 }{log _{2} 5}}\)

Podstaw i poskracaj.
MrStupid69
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 11 lis 2014, o 18:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 13 razy

Kilka trudności

Post autor: MrStupid69 »

@NogaWeza Tak właśnie jest to próbna maturka z pewnej strony, lecz za rozwiązania życzą sobie abonament.

Czy jest ktoś w stanie wytłumaczyć mi 1 zadanko?
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Kilka trudności

Post autor: Zahion »

Oczywiście.
Wystarczy tutaj skorzystać ze wzoru \(\displaystyle{ a^{3}+b^{3}= \left( a+b\right)\left( a^{2}-ab+b^{2}\right)}\). Podstawiając \(\displaystyle{ a = \sqrt[3]{4}, b= \sqrt[3]{2}}\). Czyli, żeby usunąć niewymierność z mianownika należy pomnożyć przez \(\displaystyle{ \left( a^{2}-ab+b^{2}\right)}\)
Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 926
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 274 razy

Kilka trudności

Post autor: Elayne »

Wydaje mi się że w pierwszym zadaniu jest literówka - powinna być 2 przed pierwiastkiem
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Kilka trudności

Post autor: Mariusz M »

\(\displaystyle{ \frac{1}{4} x^{4}+ \frac{1}{3} x^{3} > 3x^{2} - 16\\
\frac{1}{4} x^{4}+ \frac{1}{3} x^{3}-3x^{2}+16=0\\
\left( \frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x\right)^2-\left( \frac{28}{9}x^2-16\right)=0\\
\left( \frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x+\frac{y}{2}\right)^2-\left( \left( \frac{1}{2}y-\frac{28}{9}\right)x^2+\frac{1}{3}xy+\frac{y^2}{4}-16 \right)=0\\
\Delta=0\\
4\left(\frac{y^2}{4}-16 \right)\left(\frac{1}{2}y-\frac{28}{9} \right)-\left( \frac{1}{3}y\right)^2=0\\
\left( y^2-64\right)\left(\frac{1}{2}y-\frac{28}{9} \right)- \frac{1}{9}y^2=0\\}\)
ODPOWIEDZ