Wielomian \(\displaystyle{ W(x) = x^{2013}+a_{2011}x^{2011}+a _{2009}x^{2009}+...+ a_{3} x^{3} + a_{1}x + 2}\) dzieli się przez wielomian \(\displaystyle{ x^{2} + x + 1}\). Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W przez \(\displaystyle{ x ^{2} - x + 1}\).
Kompletnie nie mam pojęcia jak to ruszyć, jakieś podpowiedzi?
Podzielność i reszta wielomianu stopnia 2013.
-
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
Podzielność i reszta wielomianu stopnia 2013.
Może coś w tym stylu :
\(\displaystyle{ W\left( -x\right) = -W\left( x\right) + 4}\). Niech \(\displaystyle{ h\left( x\right) = x^{2} + x +1}\), wtedy \(\displaystyle{ x^{2}-x+1 = h\left( -x\right)}\). Mamy, że \(\displaystyle{ W\left( x\right) = h\left( x\right) Q\left( x\right)}\). Stąd \(\displaystyle{ W\left( -x\right) = 4 - W\left( x\right) = h\left( -x\right) Q\left( -x\right)}\), czyli \(\displaystyle{ W(x) = -h(-x) Q(-x) + 4 = h\left( -x\right)\left( -Q\left( -x\right) \right) + 4 = h\left( -x\right)T\left( x\right) +4}\), dla \(\displaystyle{ T\left( x\right)=-Q\left( -x\right)}\).
Proponuje sprawdzić rozwiązanie.
\(\displaystyle{ W\left( -x\right) = -W\left( x\right) + 4}\). Niech \(\displaystyle{ h\left( x\right) = x^{2} + x +1}\), wtedy \(\displaystyle{ x^{2}-x+1 = h\left( -x\right)}\). Mamy, że \(\displaystyle{ W\left( x\right) = h\left( x\right) Q\left( x\right)}\). Stąd \(\displaystyle{ W\left( -x\right) = 4 - W\left( x\right) = h\left( -x\right) Q\left( -x\right)}\), czyli \(\displaystyle{ W(x) = -h(-x) Q(-x) + 4 = h\left( -x\right)\left( -Q\left( -x\right) \right) + 4 = h\left( -x\right)T\left( x\right) +4}\), dla \(\displaystyle{ T\left( x\right)=-Q\left( -x\right)}\).
Proponuje sprawdzić rozwiązanie.