Równanie dwukwadratowe z parametrem

[cz0rnyfj]

Cześć,
załóżmy że mam równanie \(\displaystyle{ mx^{4}+(m-1)x^{2} + m = 0}\) gdzie \(\displaystyle{ m}\) jest parametrem. Jakie warunki powinienem zrobić żeby określić ile rozwiązań ma to równanie (0, 1, 2, 3, 4)?

Wprowadzam \(\displaystyle{ t= x^2 \wedge t \in R}\)
I tak, nie ma rozwiązań gdy \(\displaystyle{ a \neq 0 , \Delta < 0}\)
cztery rozwiązania gdy \(\displaystyle{ a \neq 0, \Delta > 0, t_{1} + t_{2} > 0, t_{1}t_{2} > 0}\)
trzy rozwiązania gdy \(\displaystyle{ a \neq 0, \Delta > 0, t_{1} + t_{2} > 0, t_{1}t_{2} = 0}\)

Tego jestem pewien że dobrze określiłem ale pozostają jeszcze dwie możliwości:
dwa rozwiązania \(\displaystyle{ a \neq 0, \Delta = 0, t_{0} > 0}\)
jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ a \neq 0, \Delta = 0, t_{0} = 0}\)

Proszę o sprawdzenie założeń czy są poprawne.

[bakala12]

Pierwsze 2 są ok.
Dwa rozwiązania mamy jeszcze w przypadku gdy \(\displaystyle{ \Delta>0 \wedge t_{1}t_{2}<0}\)
Tak samo jedno rozwiązanie mamy jeszcze w przypadku \(\displaystyle{ \Delta>0 \wedge t_{1}=0 \wedge t_{1}+t_{2}<0}\)

[cz0rnyfj]

Pierwsze 2 są ok.
Dwa rozwiązania mamy jeszcze w przypadku gdy \(\displaystyle{ \Delta>0 \wedge t_{1}t_{2}<0}\)
Tak samo jedno rozwiązanie mamy jeszcze w przypadku \(\displaystyle{ \Delta>0 \wedge t_{1}=0 \wedge t_{1}+t_{2}<0}\)

Czyli jedno lub dwa rozwiązania mam gdy obliczę sumę przedziałów z moich i Twoich warunków, tak?

[bakala12]

Tak

[mortan517]

353055.htm

[szachimat]

Chyba do kompletu jeszcze brakuje:
\(\displaystyle{ \Delta<0}\) - brak rozwiązań
dla \(\displaystyle{ a=0}\) - jedno rozwiązanie