Wykaż, że wielomian ma 1 m. zerowe

[2kristof2]

Uzasadnij, że wielomian

\(\displaystyle{ W(x) = -12x^3 + 42x^2 - 49x + 17}\)

ma dokładnie jedno miejsce zerowe.

--------------------------------------------
Próbowałem po prostu znaleźć ten pierwiastek i pokazać, że pozostałe wyrażenie kwadratowe ma deltę mniejszą od zera. Jednakże pierwiastek ten nie jest raczej ani ułamkiem ani liczbą całkowitą.
Słyszałem o twierdzeniu Darboux'a, ale nigdy z niego korzystałem.

[miodzio1988]

Skorzystaj z tego twierdzenia, nie jest trudne. Plus, pochodną przyda się policzyć

[jutrvy]

A znane Ci jest może pojęcie pochodnej? Policz pochodną i skorzystaj z tego, że jak pochodna jest na jakimś przedziale dodatnia, to ta funkcja jest rosnąca, jak ujemna, to malejąca, a później spróbuj z, ściślej mówiąc, to Twierdzeniem Darboux, które mówi, że każda funkcja ciągła ma własność Darboux.

[2kristof2]

\(\displaystyle{ W'(x) = -36x^2 + 84x - 49}\)
\(\displaystyle{ f'(0) = -49}\)
\(\displaystyle{ f'(1) = -36+84-49 = -1}\)
\(\displaystyle{ f'(0)*f'(1) < 0}\), więc w tym przedziale nie ma miejsca zerowego
Na tej zasadzie to działa? Nadal nie uzasadniłem, że istnieje miejsce zerowe, bo nie jestem przekonany jak to zrobić.

[Premislav]

Warto zauważyć, że ta funkcja jest malejącą (nierosnącą) na \(\displaystyle{ \RR}\) (pokaż, że dla każdego \(\displaystyle{ x}\) rzeczywistego mamy \(\displaystyle{ W'(x) \le 0}\), np. zwijając ten trójmian do postaci kanonicznej lub przeliczając deltę), toteż nie może istnieć więcej niż jedno miejsce zerowe (oj, sorry, bo zaraz na mnie ktoś zjedzie; potrzebujemy tego, że funkcja jest malejąca, a nie tylko nierosnąca). I stąd już blisko, bo starczy znaleźć dwa punkty, takie że w jednym wartość funkcji przekracza zero, a w drugim jest od zera mniejsza i powołać się na własność Darboux.
Twojej próby niestety nie rozumiem.

[jutrvy]

...i powołać się na własność Darboux.

Twierdzenie Darboux chciałeś napisać?

[Premislav]

U mnie to się chyba nazywało "własność Darboux" (nie pamiętam), ale niech będzie, chyba faktycznie lepiej brzmi tak, że funkcja może mieć własność, ale powołujemy się na twierdzenie, a nie "powołujemy się na własność", bo wyszło trochę nie po polsku.

[Seth Briars]

Możesz pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{1}{6}(7-\sqrt[3]{37})}\) jest pierwiastkiem tego wielomianu, a dalej podzielić ten wielomian przez dwumian \(\displaystyle{ x-\frac{1}{6}(7-\sqrt[3]{37})}\). W ten sposób otrzymasz szukany trójmian kwadratowy (to tak a propos alternatywnego sposobu o którym najpierw wspomniałeś).

[2kristof2]

a w drugim jest od zera mniejsza

Pochodną można zapisać tak:
\(\displaystyle{ -(6x-7)^2}\),
więc wartość funkcji może być tylko mniejsza lub równa zero.

[Premislav]

Wybacz, może zbyt chaotycznie napisałem. Pochodna jest niedodatnia, co już pokazałeś (i to jest potrzebne), ale mnie chodziło o to, żebyś znalazł takie dwa punkty \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}}\), że np. \(\displaystyle{ W(x_{1})<0 \wedge W(x_{2})>0}\); jeśli takie znajdziesz, to z twierdzenia Darboux (sprawdź założenia, ew. od razu powołaj się na to że funkcje wielomianowe są funkcjami ciągłymi) między tymi punktami istnieje takie \(\displaystyle{ y}\), ze \(\displaystyle{ W(y)=0}\).
I jeszcze do tego należy pokazać, że nie mogą istnieć dwa różne miejsca zerowe \(\displaystyle{ W}\), korzystając z tego, że pochodna \(\displaystyle{ W}\) jest niedodatnia.

[2kristof2]

okej, raczej zrozumiałem (już nie będę tu pisać rozwiązania bo nie ma sensu), więc dzięki za pomoc.