Minimum funkcji czwartego stopnia?

[Andrzej_WD]

Witam,

mam problem z wyznaczeniem minimalnej wartości następującej funkcji:
\(\displaystyle{ y = x ^{4}-2 (a^{2}+b ^{2})x ^{2}+(a ^{2}-b ^{2}) ^{2}}\)
Według książki, odpowiedź wynosi \(\displaystyle{ -4a ^{2}b ^{2}}\), jednak nie wiem jak do tego dojść. Zauważyłem, że \(\displaystyle{ x ^{4}}\) oraz \(\displaystyle{ (a ^{2}-b ^{2}) ^{2}}\) nigdy nie przybiorą wartości ujemnej, więc postanowiłem się skupić na \(\displaystyle{ -2 (a^{2}+b ^{2})x ^{2}}\), jednak nie mogę osiągnąć wyniku podanego w odpowiedzi.

Pozdrawiam

edit: \(\displaystyle{ a}\)i \(\displaystyle{ b}\)to liczby rzeczywiste.

[miodzio1988]

policz pochodną i przyrównaj do zera

albo podstawienie \(\displaystyle{ t=x^2}\)

[Andrzej_WD]

Niestety, ale jestem jeszcze w liceum i do pochodnych nie dotarłem Jak coś to \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) to liczby rzeczywiste.

[a4karo]

Uzupełnij pierwsze dwa składniki tak, aby dostać pełny kwadrat. On będzie zawsze nieujemny. To, co zostanie, to najmniejsza możliwa wartość.

[NogaWeza]

Zrobiłem, wyszedł mi dobry wynik, zatem wnioskuję, że metoda poprawna. Podstawiłem \(\displaystyle{ x^2 = t}\) i zapisałem \(\displaystyle{ y(t) = y = t ^{2}-2 (a^{2}+b ^{2})t +(a ^{2}-b ^{2}) ^{2}}\), potem współrzędne wierzchołka, bo funkcję zmiennej \(\displaystyle{ t}\) traktujemy wtedy jako kwadratową. Wziąłem \(\displaystyle{ t_{w} = a^2+ b^2}\) czyli z tego wnioskuję, że \(\displaystyle{ x^2 = a^2 + b^2}\) no i w miejsce \(\displaystyle{ x^2}\) podstawiasz \(\displaystyle{ a^2 + b^2}\) a w miejsce \(\displaystyle{ x^4}\) podstawiłem \(\displaystyle{ (a^2 + b^2)^2}\) i po posprzątaniu wychodzi wynik, który podałeś.

[miodzio1988]

Niestety, ale jestem jeszcze w liceum i do pochodnych nie dotarłem A co do samego zadania, to według książki (kolejności rozdziałów) nie wymagana by w nim była bardziej zaawansowana wiedza matematyczna typu pochodne, itp.)
Oryginalnie zadanie jest po angielsku i w poleceniu jest " determine the least value of y" - i to słówko raczej wskazuje, by podejść do tego w jakiś "sprytny" sposób, mniej rachunkowo.
Jak coś to \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) to liczby rzeczywiste. A samo zadanie znajduje się w dziale o optymalizacji.

Zatem mój drugi sposób się kłania

[Andrzej_WD]

Dzięki za pomoc, proste podstawienie \(\displaystyle{ t=x ^{2}}\) załatwiło sprawę.
Chciałbym jeszcze poprosić o pomoc w sposobie użytkownika a4karo - z dopełnianiem do kwadratu. Przekształciłem na takie coś:
\(\displaystyle{ y = \left( x ^{2}-(a ^{2}+b ^{2}) \right) ^{2} -(a ^{2}+b ^{2} ) ^{2} + (a ^{2}-b ^{2} ) ^{2}}\). Ze składnika \(\displaystyle{ -(a ^{2}+b ^{2} ) ^{2}}\) zostaje mi tylko \(\displaystyle{ -2a ^{2}b ^{2}}\) - dwa razy za mało. Czegoś nie uwzględniłem?

[piasek101]

Z ostatniego też coś zostaje.

[Andrzej_WD]

No tak To jeszcze raz dziękuję.

[a4karo]

A zauważyłęś, że to dokłądnie to samo, co zrobiłes wcześniej? Tzn znalezienie minimum paraboli. Tylko bez podstawienia \(\displaystyle{ x^2=t}\)

Zauwaz ponadto, że gdyby zadanie brzmiało bardzo podobnie: znależć najmniejszą wartość wyrażenia
\(\displaystyle{ y = x ^{4}+2 (a^{2}+b ^{2})x ^{2}+(a ^{2}-b ^{2}) ^{2}}\),
to rozwiązanie z podstawieniem by zawiodło (minimum byłoby dla ujemnego \(\displaystyle{ t}\), a \(\displaystyle{ x^2}\) ujemne przecież być nie może).
Natomiast metodą zaproponowana przeze mnie doprowadzisz wyrażenie do postaci
\(\displaystyle{ (x^2+a^2+b^2)^2-4a^2b^2}\) i łątwo widać, że jest to najmniejsze dla \(\displaystyle{ x=0}\).