Równanie z parametrem

[Bitinful]

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ m}\), dla których równanie \(\displaystyle{ x^3-mx+2=0}\) ma trzy rozwiązania.

[Zahion]

Czy owe rozwiązania mają być rzeczywiste, czy istnieje jakiś warunek do nich ?

[Bitinful]

Mają być rzeczywiste, nie ma żadnego warunku.

[Qń]

Pochodna wielomianu to \(\displaystyle{ 3x^2-m}\). Jeśli \(\displaystyle{ m}\) jest ujemne, to pochodna jest dodatnia, a zatem wielomian jest monotoniczny i ma tylko jeden pierwiastek. Podobnie gdy \(\displaystyle{ m=0}\). Natomiast gdy \(\displaystyle{ m}\) jest dodatnie, to wielomian ma maksimum w \(\displaystyle{ -\sqrt{\frac m3}}\) oraz minimum w \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac m3}}\). Wystarczy więc sprawdzić kiedy \(\displaystyle{ W \left( -\sqrt{\frac m3} \right) >0}\) i \(\displaystyle{ W \left( \sqrt{\frac m3} \right) <0}\) - wtedy z własności Darboux wielomian ma trzy pierwiastki.

Q.

[szachimat]

Jeżeli umiesz narysować wykres funkcji \(\displaystyle{ y=f(x)}\) i na podstawie wykresu znaleźć liczbę rozwiązań równania \(\displaystyle{ f(x)=m}\) w zależności od parametru m, to można przekształcić nasze równanie do postaci \(\displaystyle{ \frac{x^3+2}{x}=m}\). Wtedy łatwo po narysowaniu wykresu podać odpowiedź.