Monotoniczność funkcji

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 127 razy

Monotoniczność funkcji

Post autor: karolex123 »

Udowodnij, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x ^{3}+5x}\) jest rosnąca.
Niech \(\displaystyle{ x _{2} >x _{1}}\).
\(\displaystyle{ f(x _{2})-f(x _{1} )=x _{2} ^{3} +5x _{2}-x _{1} ^{3}-5x _{1} =5(x _{2} -x _{1})+x _{2} ^{3}-x _{1} ^{3}}\)
Zastanawiam się teraz czy nie skorzystać ze wzoru na różnicę sześcianów, albo inaczej do tego podejść
Awatar użytkownika
jarzabek89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1337
Rejestracja: 11 lis 2007, o 21:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 181 razy

Monotoniczność funkcji

Post autor: jarzabek89 »

\(\displaystyle{ f'(x)=3x^{2}+5>0}\)
co kończy dowód.
Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 127 razy

Monotoniczność funkcji

Post autor: karolex123 »

Bez pochodnych. Nie mieliśmy jeszcze rachunku różniczkowego, zadanie jest dla I klasy liceum (poziom rozszerzony).
Awatar użytkownika
jarzabek89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1337
Rejestracja: 11 lis 2007, o 21:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 181 razy

Monotoniczność funkcji

Post autor: jarzabek89 »

Oj przepraszam, nie zauważyłem
W takim razie:
skoro:
\(\displaystyle{ x _{2} >x _{1}}\)
to:
\(\displaystyle{ x _{2}^{3} >x _{1}^{3}}\)
a z tego wynika, że:
\(\displaystyle{ f(x_{2})-f(x_{1})>0}\)
Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 127 razy

Monotoniczność funkcji

Post autor: karolex123 »

Ok, to było oczywiste :/. Dzięki
ODPOWIEDZ