Witam, mam problem z 2 zadaniami.
1. Wykaż,że równanie \(\displaystyle{ x^{9} - 9x+15=0}\) ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
Obliczyłem pochodną, której miejsca zerowe to -1 i 1, minimum lokalne występuje dla f(1)=7 a maksimum dla f(-1)=23, więc jeśli funkcja przed -1 rośnie i po 1 rośnie, to ma jedno rozwiązanie gdzieś przed -1. Czy takie rozwiązanie jest poprawne?
2. Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x>2}\) prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ x^{3}-2x-2>0}\)
Tutaj nie wiem od czego zacząć. Proszę o pomoc.
Wykazanie rozwiązania równania
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Wykazanie rozwiązania równania
\(\displaystyle{ x^{3}-2x-2>0\\
x^{3}-2x-2=0\\
x=u+v\\
\left( u+v\right)^3-2\left( u+v\right)-2=0\\
u^3+3u^2v+3uv^2+v^3-2\left( u+v\right)-2=0\\
u^3+v^3-2+ 3u^2v+3uv^2-2\left( u+v\right)=0\\
u^3+v^3-2+3\left( u+v\right)\left( uv-\frac{2}{3}\right)=0\\
\begin{cases} u^3+v^3-2=0 \\3\left( u+v\right)\left( uv-\frac{2}{3}\right)=0\\ \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=2 \\ uv=\frac{2}{3} \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=2 \\ u^3v^3=\frac{8}{27} \end{cases} \\
t^2-2t+\frac{8}{27}=0\\
\left( t-1\right)^2-\frac{19}{27}=0\\
\left( t-1-\frac{ \sqrt{57} }{9}\right)\left( t-1+\frac{ \sqrt{57} }{9}\right)=0\\
\left( t- \frac{9+ \sqrt{57} }{9} \right)\left( t- \frac{9- \sqrt{57} }{9} \right)=0\\
\left( t- \frac{27+ 3\sqrt{57} }{27} \right)\left( t- \frac{27- 3\sqrt{57} }{27} \right)=0\\
x_{1}= \frac{1}{3}\left( \sqrt[3]{27+ 3\sqrt{57}}+ \sqrt[3]{27- 3\sqrt{57}} \right)\\}\)
Łatwo możesz sprawdzić że to jedyny pierwiastek rzeczywisty
(np używając pierwiastków trzeciego stopnia z jedynki albo dzielenia przez dwumian)
Nierówność jest spełniona dla
\(\displaystyle{ x\in \left(\frac{1}{3}\left( \sqrt[3]{27+ 3\sqrt{57}}+ \sqrt[3]{27- 3\sqrt{57}} \right), \infty \right)}\)
więc także dla przedziału podanego przez ciebie
x^{3}-2x-2=0\\
x=u+v\\
\left( u+v\right)^3-2\left( u+v\right)-2=0\\
u^3+3u^2v+3uv^2+v^3-2\left( u+v\right)-2=0\\
u^3+v^3-2+ 3u^2v+3uv^2-2\left( u+v\right)=0\\
u^3+v^3-2+3\left( u+v\right)\left( uv-\frac{2}{3}\right)=0\\
\begin{cases} u^3+v^3-2=0 \\3\left( u+v\right)\left( uv-\frac{2}{3}\right)=0\\ \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=2 \\ uv=\frac{2}{3} \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=2 \\ u^3v^3=\frac{8}{27} \end{cases} \\
t^2-2t+\frac{8}{27}=0\\
\left( t-1\right)^2-\frac{19}{27}=0\\
\left( t-1-\frac{ \sqrt{57} }{9}\right)\left( t-1+\frac{ \sqrt{57} }{9}\right)=0\\
\left( t- \frac{9+ \sqrt{57} }{9} \right)\left( t- \frac{9- \sqrt{57} }{9} \right)=0\\
\left( t- \frac{27+ 3\sqrt{57} }{27} \right)\left( t- \frac{27- 3\sqrt{57} }{27} \right)=0\\
x_{1}= \frac{1}{3}\left( \sqrt[3]{27+ 3\sqrt{57}}+ \sqrt[3]{27- 3\sqrt{57}} \right)\\}\)
Łatwo możesz sprawdzić że to jedyny pierwiastek rzeczywisty
(np używając pierwiastków trzeciego stopnia z jedynki albo dzielenia przez dwumian)
Nierówność jest spełniona dla
\(\displaystyle{ x\in \left(\frac{1}{3}\left( \sqrt[3]{27+ 3\sqrt{57}}+ \sqrt[3]{27- 3\sqrt{57}} \right), \infty \right)}\)
więc także dla przedziału podanego przez ciebie