Ekstrema lokalne i punkty przegięcia funkcji.

[Thuddy]

\(\displaystyle{ y= \frac{1}{4} x^{4}-2 x^{2} +7}\)

Czy dowolna funkcja może mieć wiecej niż 1 punkt przegiecia?

Czy dla tej funkcji będą to punkty \(\displaystyle{ x= \frac{2 \sqrt{3} }{2}}\) i \(\displaystyle{ x= -\frac{2 \sqrt{3} }{2}}\)
Z góry dzieki za pomoc.

[szw1710]

Punktów przegięcia możesz mieć nawet nieskończenie wiele, jak np. dla funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x+\sin x}\).

Twoja funkcja ma dwa punkty przegięcia, ale kiepsko je wyliczyłeś. W mianowniku masz błąd typograficzny. Może tylko o to chodzi.

[Thuddy]

Oj tak, w mianowniku powinno być oczywiście 3. A teraz jeszcze jedno pytanie. Jeśli chciałbym określić przedziały monotoniczności to określam je na podstawie analizy pierwszej pochodnej, czy na podstawie wykresu tej funkcji początkowej?

[szw1710]

Zależy jakiego stopnia ścisłości potrzebujesz. Ściśle to oczywiście pierwsza pochodna (albo inna metoda, nie ogląd graficzny).

[Thuddy]

To znaczy że liczę pochodną a następnie z powstałej nowej funkcji wyznaczam miejsca zerowe, rysuję przybliżony wykres i określam wtedy przedziały tak? Dlaczego przedziały monotoniczności funkcji określa się na podstawie analizy pochodnej a nie na podstawie wykresu pierwotnej funkcji?

[szw1710]

Bo wtedy jest ściśle. Ty pewnie inżynierem chcesz zostać. Ale nie wszystko się rysuje. Wiesz, że na oko chłop w szpitalu zmarł?

Przedziały monotoniczności określa się na podstawie analizy znaku pochodnej, bo z twierdzenia Lagrange'a wynika, że jeśli \(\displaystyle{ f'(x)>0}\) w \(\displaystyle{ (a,b)}\), to \(\displaystyle{ f}\) rośnie w \(\displaystyle{ (a,b)}\). Podobnie z funkcją malejącą.

[Thuddy]

A jeśli chodzi o przedziały wypukłości, to ta funkcja jest wypukła w przedziale \(\displaystyle{ \left(- \infty , \frac{-2 \sqrt{3} }{3} \right)}\) i \(\displaystyle{ \left(\frac{2 \sqrt{3} }{3}, \infty \right)}\) ?

[szw1710]

Tak. A wklęsła pomiędzy tymi pierwiastkami. Wypukłość wynika np. z dodatniości drugiej pochodnej. Wklęsłość z ujemności.