Dowód związany z pierwiastkami równania.
-
a456
- Użytkownik
- Posty: 132
- Rejestracja: 14 gru 2014, o 18:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 7 razy
Dowód związany z pierwiastkami równania.
Wykazać, że jeżeli liczby \(\displaystyle{ \alpha}\) , \(\displaystyle{ \beta}\) są różnymi pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^4+bx^3-1=0}\), gdzie \(\displaystyle{ b \in R}\), to liczba \(\displaystyle{ \alpha \cdot \beta}\) jest pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ x^6+x^4+b^2x^3-x^2-1=0}\)
-
Zahion
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
Dowód związany z pierwiastkami równania.
Oznaczmy jako \(\displaystyle{ Q(x)=x^{6}+x^{4}+b^{2}x^{3}-x^{2}-1}\). Niech też \(\displaystyle{ P(x) = x^{4}+bx^{3} -1 = (x-p)(x-q)(x-r)(x-s)}\), zauważmy już na początku, że \(\displaystyle{ P(-b)=-1=(b+p)(b+q)(b+r)(b+s)}\), oraz \(\displaystyle{ p+q+r+s=-b}\) < --- ze wzorów Viete'a.
Oznaczmy nasze pierwiastki \(\displaystyle{ \alpha =p, \beta =q}\). Zauważmy, że na mocy zadania \(\displaystyle{ Q(pq) = (pq)^{6}+(pq)^{4}+b^{2}(pq)^{3}-(pq)^{2}-1 = (pq)^{3}((pq)^{3}- (\frac{1}{pq})^{3}+pq- \frac{1}{pq}+b^{2})=0}\) Wystarczy więc udowodnić, że \(\displaystyle{ (pq)^{3}- (\frac{1}{pq})^{3}+pq- \frac{1}{pq}+b^{2} = 0}\), ale ze wzorów Viete'a mamy, że \(\displaystyle{ pqrs = -1}\), a stąd, że \(\displaystyle{ (pq)^{3}- (\frac{1}{pq})^{3}+pq- \frac{1}{pq}+b^{2} = (pq)^{3}+(rs)^{3}+pq+rs+b^{2}}\), czyli wystarczy udowodnić równość \(\displaystyle{ (pq)^{3}+(rs)^{3}+pq+rs+b^{2}= 0}\). Korzystamy dalej z warunków zadania, mianowicie \(\displaystyle{ P(p)=0}\), czyli \(\displaystyle{ p^{4} + bp^{3}-1=0}\), czyli \(\displaystyle{ p^{3}(p+b)=1}\), a stąd \(\displaystyle{ p^{3} = \frac{1}{p+b}}\), analogicznie dla \(\displaystyle{ q}\), mianowicie \(\displaystyle{ q^{3} = \frac{1}{q+b}}\), stąd \(\displaystyle{ (pq)^{3} = \frac{1}{(p+b)(q+b)}= \frac{(b+r)(b+s)}{P(-b)}=-(b+s)(b+r)}\), prowadząc to samo rozumowanie dla \(\displaystyle{ r, s}\) mamy, że \(\displaystyle{ (rs)^{3} = -(b+q)(b+p)}\), a stąd przechodzimy do zakończenia dowodu.
\(\displaystyle{ (pq)^{3}+(rs)^{3}+pq+rs+b^{2} = -(p+b)(q+b)-(r+b)(s+b)+pq+rs+b^{2}=-pq-pb-bq-b^{2}-rs-rb-bs-b^{2}+pq+rs+b^{2}=-b^{2}-b(p+q+r+s)=-b^{2}+b^{2}=0}\)
Co kończy dowód.
Udowodnienie równości \(\displaystyle{ (pq)^{2} = 1-b}\) też zakończy rozwiązanie.
Oznaczmy nasze pierwiastki \(\displaystyle{ \alpha =p, \beta =q}\). Zauważmy, że na mocy zadania \(\displaystyle{ Q(pq) = (pq)^{6}+(pq)^{4}+b^{2}(pq)^{3}-(pq)^{2}-1 = (pq)^{3}((pq)^{3}- (\frac{1}{pq})^{3}+pq- \frac{1}{pq}+b^{2})=0}\) Wystarczy więc udowodnić, że \(\displaystyle{ (pq)^{3}- (\frac{1}{pq})^{3}+pq- \frac{1}{pq}+b^{2} = 0}\), ale ze wzorów Viete'a mamy, że \(\displaystyle{ pqrs = -1}\), a stąd, że \(\displaystyle{ (pq)^{3}- (\frac{1}{pq})^{3}+pq- \frac{1}{pq}+b^{2} = (pq)^{3}+(rs)^{3}+pq+rs+b^{2}}\), czyli wystarczy udowodnić równość \(\displaystyle{ (pq)^{3}+(rs)^{3}+pq+rs+b^{2}= 0}\). Korzystamy dalej z warunków zadania, mianowicie \(\displaystyle{ P(p)=0}\), czyli \(\displaystyle{ p^{4} + bp^{3}-1=0}\), czyli \(\displaystyle{ p^{3}(p+b)=1}\), a stąd \(\displaystyle{ p^{3} = \frac{1}{p+b}}\), analogicznie dla \(\displaystyle{ q}\), mianowicie \(\displaystyle{ q^{3} = \frac{1}{q+b}}\), stąd \(\displaystyle{ (pq)^{3} = \frac{1}{(p+b)(q+b)}= \frac{(b+r)(b+s)}{P(-b)}=-(b+s)(b+r)}\), prowadząc to samo rozumowanie dla \(\displaystyle{ r, s}\) mamy, że \(\displaystyle{ (rs)^{3} = -(b+q)(b+p)}\), a stąd przechodzimy do zakończenia dowodu.
\(\displaystyle{ (pq)^{3}+(rs)^{3}+pq+rs+b^{2} = -(p+b)(q+b)-(r+b)(s+b)+pq+rs+b^{2}=-pq-pb-bq-b^{2}-rs-rb-bs-b^{2}+pq+rs+b^{2}=-b^{2}-b(p+q+r+s)=-b^{2}+b^{2}=0}\)
Co kończy dowód.
Udowodnienie równości \(\displaystyle{ (pq)^{2} = 1-b}\) też zakończy rozwiązanie.