Wyznacz wszystkie wartości parametrów

[pag15]

Wyznacz \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) dla których nierówność jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą:

\(\displaystyle{ (x+6)(x-3)(x ^{2}+px-2qx+6q) \ge 0}\)

Jak to rozpatrywać, poproszę o wyraźne wskazówki ponieważ nie robiłem zadań tego typu.

[jarek4700]

Wielomian nie może mieć nieparzystokrotnych pierwiastków - ponieważ w okolicy takiego pierwiastka następuje zmiana znaku jego wartości.
Musisz zrobić tak żeby ten trójmian z parametrami miał postać \(\displaystyle{ A(x+6)(x-3)}\)
Wtedy będą tylko dwa dwukrotne pierwiastki i jak narysujesz szkic wykresu to nie będzie przechodził pod oś \(\displaystyle{ OX}\)

[pag15]

Jak mam to zrobić, nic mi to nie pomogło, dało tylko zarys jak bezie wyglądać szkic.

-- 30 sty 2015, o 01:45 --

O znaczy że twoje \(\displaystyle{ A = (x+6)(x-3)}\)? i Są tak na prawdę 2 pierwiastki dwukrotne ?

[Dilectus]

Ta nierówność nigdy nie będzie spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą, bo parametry \(\displaystyle{ p \ \text{i} \ q}\) występują tylko w trójmianie kwadratowym w trzecim nawiasie, a więc od nich zależą tylko pierwiastki tego trójmianu. Z całą pewnością wykres będzie zmieniał znak w punktach \(\displaystyle{ x=-6 \ \text{i} \ x=3}\)

Będzie tylko spełniona równość

\(\displaystyle{ (x+6)(x-3)(x ^{2}+px-2qx+6q) = 0}\)

I tu mają znaczenie parametry \(\displaystyle{ p \ \text{i} \ q}\), bo w zależności od nich będą dwa lub trzy lub cztery miejsca zerowe.



-- 30 sty 2015, o 12:35 --

Jak to rozpatrywać, poproszę o wyraźne wskazówki ponieważ nie robiłem zadań tego typu.

Popatrzmy na trójmian z trzeciego nawiasu

\(\displaystyle{ x ^{2}+px-2qx+6q=0}\)

\(\displaystyle{ x ^{2}+\left( p-2q\right) x+6q=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta = \left( p-2q\right)^2-24q}\)

W zależności od \(\displaystyle{ p \ \text{i} \ q}\) delta może myć większa od zera i wtedy trójmian ma dwa pierwiastki, równa zeru - i wtedy trójmian ma jeden pierwiastek podwójny, wreszcie mniejsza od zera - i wtedy trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych (a więc jest nierozkładalny).

-- 30 sty 2015, o 12:40 --

Opps... Byłbym coś przeoczył. Ta nierówność będzie spełniona tylko wtedy, gdy pierwiastki w dwóch pierwszych nawiasach będą parzystej krotności. A to zajdzie wtedy i tylko wtedy, gdy jednym z pierwiastków trójmianu z trzeciego nawiasu będzie liczba \(\displaystyle{ -6}\), a drugim - liczba \(\displaystyle{ 3}\)

[pag15]

Dzięki ! Dało mi to pewien zarys, a więc 2 pierwiastki podwójne i przyrównuję dzięki czemu otrzymam p i q

[daniel18122]

Witam, mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak najprościej czemu: "Wielomian nie może mieć nieparzystokrotnych pierwiastków "

[Jan Kraszewski]

Bo w nieparzystokrotnych pierwiastkach zmienia znak, więc z jednej strony takiego pierwiastka będzie przyjmował wartości ujemne, a tego chcemy uniknąć.

JK