Wyznacz współczynniki a,b,c

[karololcia]

Liczba \(\displaystyle{ p=1}\) jest pierwiastkiem podwójnym wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^3+ax^2+bx+c}\), a reszta z dzielenia tego wielomianu przez dwumian \(\displaystyle{ x-2p}\), równa jest 3. Wyznacz współczynniki \(\displaystyle{ a,b,c}\) i rozłóż wielomian na czynniki liniowe.

[jarek4700]

Można więc zapisać że \(\displaystyle{ W(x) = (x-1)^{2}(x-x_{3}) =}\)
\(\displaystyle{ =x^{3} - 2x^{2} + x - x_{3}(x^{2} -2x + 1) = x^{3} + (-2-x_{3})x^{2} + (1+2x_{3})x - x_{3}}\)

Z tego by wynikało że trzeci pierwiastek \(\displaystyle{ x_{3} = -c}\)
i wtedy
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a = -2+c\\
b = 1-2c
\end{cases}}\)

Ponadto \(\displaystyle{ W(2p) = W(2) = 8 + 4a + 2b + c = 3}\)

Z tego już łatwo wszystko policzyć.