przedstawić wielomian potegi

[badii]

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} x^{4}+ x^{3}-2x ^{2}+6}\) przedstaw w postaci \(\displaystyle{ x-2}\)


nie pamietam jak sie to robilo moglby ktos wytlumaczyc?

[SlotaWoj]

Podaj dokładnie temat zadania, bo na razie nie wiadomo co trzeba zrobić.

[Mariusz M]

Up można się domyślić o co chodziło
Policz Hornerem wartości kolejnych pochodnych tego wielomianu w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}=2}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} x^{4}+ x^{3}-2x ^{2}+6}\)

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c} &1/2 &1&-2&0&6 \\ \hline 2 &1/2&2&2&4&14\\ \hline 2&1/2&3&8&20& \\\hline 2&1/2&4&16&&\\ \hline 2&1/2&5&&&\\ \hline 2& 1/2&&&&&\end{tabular}}\)

\(\displaystyle{ W\left( x\right) =\frac{1}{2}\left( x-2\right)^4+5\left( x-2\right)^3+16\left( x-2\right)^2+20\left( x-2\right)+14}\)

[SlotaWoj]

Nie chodzi o to, czy można było domyślić się, czy nie. Matematyka jest dziedzina, która wymaga precyzyjnych sformułowań, również w tematach zadań. Umiejętność precyzyjnego formułowania problemów też jest istotnym elementem wykształcenia.

[badii]

Nie mogłem dobrze trafć z nazwą tematu aż wreszcie jakaś mi weszła i zaakceptowało
treść : Wielomian ten wyżej przedstawić za pomocą kolejnych potęg x-2.

No ale chyba tak jak mariuszm napisał, tylko nie bardzo rozumiem o co chodzi, jaśniej jakoś ?

[Mariusz M]

Ma to związek z rozwinięciem w szereg Taylora
Innym pomysłem jest zapisanie \(\displaystyle{ x}\) jako
\(\displaystyle{ \left( \left( x-2\right)+2 \right)}\)
i skorzystanie z dwumianu Newtona

[SlotaWoj]

Coś Ty MariuszM namotał.

Policz Hornerem wartości kolejnych pochodnych tego wielomianu w punkcie \(\displaystyle{ x_0=2}\)

Przecież w tabelce, którą zamieściłeś poniżej nie są wartości kolejnych pochodnych w punkcie \(\displaystyle{ x_o-2}\), bo te są równe \(\displaystyle{ \mathop{f^{(i)}_{i=(0;\ 1;\ 2;\ 3;\ 4)}}(x)=\left( 14;\ 20;\ 32;\ 30;\ 12\right)}\) , tylko są to wartości kolejnych reszt przy dzieleniu wielomianu przez dwumian \(\displaystyle{ x-2}\) .

[Mariusz M]

W tabelce po przekątnej są wartości kolejnych pochodnych w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}=2}\)
podzielone przez silnię czyli akurat to co mamy we wzorze Taylora

\(\displaystyle{ W\left( x\right)=\left( x-2\right)Q\left( x\right)+R\\
W^{\prime}\left( x\right)=Q\left( x\right)+\left( x-2\right)Q^{\prime}\left( x\right)\\
W^{\prime}\left( 2\right)=Q\left( 2\right) \\}\)

\(\displaystyle{ Q\left( x\right)}\) możemy znaleźć dzieląc wielomian \(\displaystyle{ W\left( x\right)}\)przez dwumian
\(\displaystyle{ x-2}\)

[SlotaWoj]

No tak. Ja też się mylę (wartości pochodnych). Skorygowałem swój poprzedni post.

Po korekcie rzeczywiście jest:

• \(\displaystyle{ \mathop{ \frac{f^{(i)}(x)}{i!}}_{i=(0;\ 1;\ 2;\ 3;\ 4)}=\left( 14;\ 20;\ 16;\ 5;\ \frac{1}{2} \right)}\)

Podtrzymuję swoje zastrzeżenie z poprzedniego postu. W tabelce nie są żadne pochodne, a tylko współczynniki wielomianu wynikowego i reszta po podzieleniu wielomianu „poprzedniego” przez dwumian \(\displaystyle{ x-2}\). To że reszty te mają związek z wartościami kolejnych pochodnych dla \(\displaystyle{ x=2}\) (o czym wcześniej nie wiedziałem) to inna sprawa. Ale związek ten ma specjalną nazwę: pochodna znormalizowana.

[Mariusz M]

W tabelce nie są żadne pochodne, a tylko współczynniki wielomianu

Spróbuj powiedzieć to takim piaskom którzy uważają że schemat Hornera służy nawet do znajdowania
pierwiastków

Tak pochodne się liczy w ten sposób

\(\displaystyle{ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f\left( x+\Delta x\right)-f\left( x\right) }{\Delta x}}\)

Reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian \(\displaystyle{ x-a}\)
jest wartością wielomianu w punkcie \(\displaystyle{ x=a}\)
Myślę że pokazałem dlaczego te reszty są równe wartościom kolejnych pochodnych wielomianu


Można też najpierw policzyć pochodne a dopiero ich wartości

\(\displaystyle{ f^{\left( 0\right) }\left( x\right)= \frac{1}{2} x^{4}+ x^{3}-2x ^{2}+6\\
f^{\left( 1\right) }\left( x\right)= 2x^{3}+3x^{2}-4x\\
f^{\left( 2\right) }\left( x\right)= 6x^{2}+6x-4\\
f^{\left( 3\right) }\left( x\right)= 12x+6\\
f^{\left( 4\right) }\left( x\right)= 12\\}\)

Drugi sposób który przytoczyłem to \(\displaystyle{ x=\left( \left( x-2\right)+2\right)}\)
wstawienie tego do równania i skorzystanie z dwumianu Newtona
nie wymaga odwołania się do analizy matematycznej także
badii, może sobie wybrać z czego chce korzystać