Dzieląc wielomian G przez dwumian x-a otrzymano wynik F

[Pawlllosss]

Mam takie zadanie. Przy dzieleniu wielomianu \(\displaystyle{ G}\) przez dwumian \(\displaystyle{ (x-a)}\) otrzymano wynik \(\displaystyle{ f}\). Podaj wartośc \(\displaystyle{ a}\) oraz resztę \(\displaystyle{ R}\) i wyznacz wielomian \(\displaystyle{ G}\).

\(\displaystyle{ f(x)=x+\frac{4}{x+1}}\)

wydaje mi się, że \(\displaystyle{ \frac{4}{x+1}}\) to reszta z dzielenia więc zapis wielomianu G w postaci:

\(\displaystyle{ G(x)=f(x) \cdot P(x)+R}\)

Wyglądałby tak:

\(\displaystyle{ G(x)=x \cdot (x-a)+\frac{4}{x+1}}\)

Potem bym wykorzystał twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian:

\(\displaystyle{ G(a)=a \cdot (a-a)+\frac{4}{a+1}}\)

I... zonk, nie wiem co zrobić dalej, na dodatek wg odpowiedzi w zbiorze \(\displaystyle{ a=1}\). Więc coś zrobiłem nie tak, tylko nie mam pojęcia co...

[SlotaWoj]

Odpowiedź podana w zbiorze jest błędna. Ma być: \(\displaystyle{ a=-1}\) , bo \(\displaystyle{ x-a=x+1}\) . Dodatkowo:

• \(\displaystyle{ R(x)=4 \\G(x)=x^2+x+4}\)

[Pawlllosss]

Sorki, minusa zjadłem pisząc, właśnie w zbiorze było \(\displaystyle{ a=-1}\). I trochę tego nie rozumiem. Bo wtedy mając \(\displaystyle{ G(a)}\) dzielibyśmy przecież przez \(\displaystyle{ 0}\).

[szachimat]

Ogólnie mamy:
\(\displaystyle{ \frac{G(x)}{x-a} = P(x) + \frac{R(x)}{x-a}}\)
czyli: \(\displaystyle{ G(x) = P(x)(x-a) + R(x)}\) , a zatem pisząc \(\displaystyle{ G(a)}\) nie masz tutaj dzielenia przez \(\displaystyle{ 0}\) , tylko \(\displaystyle{ G(a)=R(a)}\) (nie patrz na to co wyżej, bo tam nie można wstawiać za \(\displaystyle{ x}\) wartości \(\displaystyle{ a}\) ).
Twoja funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x+\frac{4}{x+1}}\) jest więc równa \(\displaystyle{ P(x) + \frac{R(x)}{x-a}}\) (stąd widać natychmiast, że \(\displaystyle{ a=-1}\) ).
A zatem \(\displaystyle{ P(x)=x}\) jest wielomianem stopnia pierwszego, a \(\displaystyle{ R(x)=4}\) – zerowego, czyli \(\displaystyle{ G(x)}\) jest to trójmian kwadratowy, czyli podsumowując mamy:
\(\displaystyle{ \frac{G(x)}{x+1} = x + \frac{4}{x+1}}\) , czyli \(\displaystyle{ G(x)}\) daje wynik, który podał SlotaWoj.