Równanie dwukwadratowe z parametrem. [Z kiełbasy 2015]

[Sayeru]

Witam wszystkich, to mój pierwszy post.

\(\displaystyle{ {x}^4 + (p+1){x}^2+ {p}^2 - 1 = 0}\)
Wyznacz wartości parametru p dla których równanie ma dokładnie dwa różne pierwiastki.

Podstawiam zmienną pomocniczą t.
Delta > 0.


W odpowiedziach jest że \(\displaystyle{ t \in \left( -1;1\right)}\)

[kerajs]

Dwa różne pierwiastki są gdy:
a) \(\displaystyle{ \Delta >0 \wedge t _{1}t _{2} <0}\)
Czyli rozwiazanie względem t daje pierwiastki przeciwnych znaków. Z dodatniego t mamy dwa przeciwne x-sy, z ujemnego żadnego. Drugi warunek można zastapić wzorem Viety.
b) \(\displaystyle{ \Delta =0 \wedge t _{1,2}>0}\)
Jedno dodatnie rozwiązanie wzgledem t daje dwa przeciwne x.

[Sayeru]

Delta >0 wedge t _{1}t _{2} <0 z czego wywnioskowałeś że te pierwiastki są mniejsze od zera? Przecież różne mogą być także dodatnie?

[mortan517]

Ich iloczyn jest ujemny, a to oznacza tyle, że jeden z nich jest dodatni, a drugi ujemny.