Dla jakich parametrów suma tych pierwiastków jest najwieksza

[karololcia]

Niech \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) będą kolejnymi liczbami naturalnymi. Pokaż, że wielomian \(\displaystyle{ W(x)= ax^3-bx^2-cx+d}\) ma trzy pierwiastki rzeczywiste, wśród których co najmniej jeden jest liczbą
całkowitą. Dla jakich parametrów \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) suma tych pierwiastków jest największa?

[jarek4700]

\(\displaystyle{ W(1) = a - b - c + d = a - (a+1) - (a+2) +(a+3) = 0}\)
Czyli niezależnie od parametrów jednym z pierwiastków jest \(\displaystyle{ 1}\)

Teraz można podzielić ten wielomian przez \(\displaystyle{ (x-1)}\)
Pokazać że ten trójmian, który zostanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste, zobaczyć kiedy ma największą sumę pierwiastków z wzorów Viete'a.

[SlotaWoj]

Po podstawieniu wielomian wygląda tak:

• \(\displaystyle{ W(x)=ax^3-(a+1)x^2-(a+2)x+(a+3)}\)

Jak zauważył Jarek4700 jednym z jego pierwiastków jest liczba \(\displaystyle{ 1}\) więc dzieli się on bez reszty przez dwumian \(\displaystyle{ x-1}\) i można przedstawić go tak:

• \(\displaystyle{ W(x)=\left(x-1\right) \cdot \left( ax^2-x-a-3\right)}\)

Aby wielomian po prawej stronie miał pierwiastki rzeczywiste, musi być:

• \(\displaystyle{ \Delta = 4a^2+12a+1 \ge 0}\)

Jest tak, gdy: \(\displaystyle{ a \le \frac{-3-2\sqrt{2}}{2} \ \hbox{ lub } \ a \ge \frac{-3+2\sqrt{2}}{2} \approx -0,086}\) , czyli dla naturalnych \(\displaystyle{ a}\), zawsze.

Suma pierwiastków ww. wielomianu jest równa (wzór Viete'a) \(\displaystyle{ S=1+1/a}\) i będzie największa dla \(\displaystyle{ a=1 \ (S=2)}\) .