Znajdź wielomiany.

[AndrzejK]

Znajdź wszystkie wielomiany \(\displaystyle{ W}\) spełniające dla każdego \(\displaystyle{ x,y \in R}\) następujące warunki :
\(\displaystyle{ W(0)=2 \\ W(x+y)=W(x)+W(y)+2xy-2}\)

Jak to ugryźć?

[musialmi]

Po długim czasie wymyśliłem tylko coś takiego:
\(\displaystyle{ 2=W(0)=W(x+(-x))=W(x)+W(-x)-2x^2-2 \implies W(x)+W(-x)=2x^2+4}\)
dla każdego iksa.
Z tego na pewno można coś wywnioskować, np. że stopień jest co najmniej 2. Nie jest on liczbą parzystą, bo gdyby był, to np. \(\displaystyle{ ax^6+bx^2+c=W(x)=W(-x)}\) i wtedy suma \(\displaystyle{ W(x)+W(-x)}\) jest stopnia nieparzystego (lub zero). Może to natomiast być liczba nieparzysta: np. \(\displaystyle{ W(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\), wtedy \(\displaystyle{ W(-x)=-ax^3+bx^2-cx+d}\) i suma to \(\displaystyle{ 2bx^2+2d}\).

Swoją drogą, chyba z \(\displaystyle{ W(x)+W(-x)=2x^2+4}\) wynika, że wyraz wolny to 2, dobrze myślę?

[Qń]

wynika, że wyraz wolny to 2, dobrze myślę?

To akurat wynika z tego, że \(\displaystyle{ W(0)=2}\). A i tak to założenie jest redundantne, bo wartość w zerze można wyznaczyć z drugiej równości.

Co do rozwiązania - jeśli położymy \(\displaystyle{ V(x)=W(x)-x^2-2}\), to druga równość przekształci się do:
\(\displaystyle{ V(x+y)=V(x)+V(y)}\)

Jak wiadomo jedyną ciągłą (więc w szczególności jedyną wielomianową) funkcją addytywną jest funkcja liniowa, stąd dostajemy \(\displaystyle{ V(x)=ax}\) dla pewnego \(\displaystyle{ a}\) rzeczywistego, a stąd \(\displaystyle{ W(x)=x^2+ax+2}\). Po sprawdzeniu, że wielomiany tej postaci spełniają nasze równanie dostajemy je jako jedyne rozwiązanie równania.

Q.

[AndrzejK]

Jak wiadomo jedyną ciągłą (więc w szczególności jedyną wielomianową) funkcją addytywną jest funkcja liniowa, stąd dostajemy \(\displaystyle{ V(x)=ax}\) dla pewnego \(\displaystyle{ a}\) rzeczywistego

Czy to jest powszechnie znany fakt, czy trzeba to dodatkowo uzasadnić? Nigdy nie byłem dobry z równań funkcyjnych...

[Qń]

Raczej powszechnie znany. W ogólności dla funkcji ciągłych spełniających równanie \(\displaystyle{ f \left( x+y \right) =f \left( x \right) +f \left( y \right)}\) dowodzi się indukcyjnie, że \(\displaystyle{ f \left( nx \right) = nf \left( x \right)}\), skąd po przyjęciu \(\displaystyle{ f \left( 1 \right) =a}\) i wstawieniu \(\displaystyle{ x=1}\) dostajemy \(\displaystyle{ f \left( n \right) =an}\) dla \(\displaystyle{ n}\) naturalnych. Ale ponieważ funkcja jest nieparzysta (co łatwo wykazać), to zachodzi to też dla \(\displaystyle{ n}\) całkowitych. Jeśli teraz w równości \(\displaystyle{ f \left( nx \right) = nf \left( x \right)}\), wstawimy \(\displaystyle{ x=\frac 1n}\), to dostaniemy \(\displaystyle{ f \left( \frac 1n \right) = a\cdot \frac 1n}\). Stąd zaś mamy:
\(\displaystyle{ f \left( \frac nm \right) = n\cdot f \left( \frac 1m \right) = a\cdot \frac nm}\)
czyli inaczej mówiąc \(\displaystyle{ f \left( x \right) =ax}\) dla \(\displaystyle{ x}\) wymiernych. A skoro dla wymiernych to z ciągłości także dla rzeczywistych.

Powyższe rozumowanie można mocno skrócić dla wielomianów, bo jeśli \(\displaystyle{ g \left( x \right) =f \left( x \right) - f \left( 1 \right) \cdot x}\), to z pierwszej obserwacji wynika, że pierwiastkami \(\displaystyle{ g}\) są wszystkie liczby naturalne, a stąd \(\displaystyle{ g}\) musi być tożsamościowo równe zero.

Q.

[musialmi]

Fakt jest powszechnie znany, ale w liceum nikt nigdy nie zwrócił mi na to uwagi, dopiero na studiach, gdy tak naprawdę cały semestr algebry był poświęcony takim funkcjom ("odwzorowaniom liniowym") ;P