Równanie wielomianowe

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Dario1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1371
Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 14 razy

Równanie wielomianowe

Post autor: Dario1 »

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ p}\) równanie \(\displaystyle{ x ^{3}-px+p-1=0}\) ma trzy różne rozwiązania?

Zapisałem to jako:
\(\displaystyle{ \left( x-a\right)\left( x-b\right) \left( x-c\right)= x ^{3}-px+p-1}\) z czego doszedłem do układu 3 równań z 4 niewiadomymi no i tym, ze pierwiastki a,b,c mają być różne od siebie. Ale z tego nie dostaje poprawnej odpowiedzi jedynie pewne zależności. Jak powinny być postawione warunki w tym zadaniu? Być może brakuje jakiejś zależności/równania której nie widzę.
szw1710

Równanie wielomianowe

Post autor: szw1710 »

Z doświadczenia z wielomianami trzeciego stopnia wnoszę, że ten wielomian musi mieć jedno minimum lokalne i jedno maksimum lokalne. Zaprzęgnij pochodne do roboty. Pochodna musi więc mieć dwa miejsca zerowe. Ale to mało. Wystarczy, aby \(\displaystyle{ \min{\text{ lok}}\le 0\le\max{\text{ lok}}}\).
Ostatnio zmieniony 11 sty 2015, o 20:02 przez szw1710, łącznie zmieniany 1 raz.
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Równanie wielomianowe

Post autor: Zahion »

Zauważ na początku, że \(\displaystyle{ W(1) = 0}\)
Dario1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1371
Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 14 razy

Równanie wielomianowe

Post autor: Dario1 »

Zgadza się Zahion. Tego równania brakowało. Teraz widzę, że można było też wyznaczyć \(\displaystyle{ p}\) z wielomianu i wtedy to dobrze widać. Nie zauważyłem prostego triku w tym zadaniu.
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Równanie wielomianowe

Post autor: Dilectus »

Popatrzmy:

\(\displaystyle{ x ^{3}-px+p-1=0}\)

\(\displaystyle{ x^3-1 -p\left( x-1\right) =0}\)

Wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów prowadzi do równania:

\(\displaystyle{ \left( x-1\right)\left( x^2+1+1\right)-p\left( x-1\right) =0}\)

\(\displaystyle{ \left( x-1\right)\left( x^2+x+1-p\right)=0}\)

Żeby ten wielomian miał trzy pierwiastki, trzeba, żeby trójmian w drugim nawiasie miał dwa pierwiastki, a więc, żeby

\(\displaystyle{ \Delta=1-4\left( 1-p\right)>0}\)

Dalej już wszystko jasne...
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Równanie wielomianowe

Post autor: Zahion »

Żeby ten wielomian miał trzy pierwiastki, trzeba, żeby trójmian w drugim nawiasie miał dwa pierwiastki, a więc, żeby

\(\displaystyle{ \Delta=1-4\left( 1-p\right)>0}\)

Dalej już wszystko jasne...
Z tej nierówności otrzymamy, że \(\displaystyle{ p > \frac{3}{4}}\), a to nie jest prawidłowa odpowiedz.
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Równanie wielomianowe

Post autor: Dilectus »

Zahion, widzisz, gdzie się rąbnąłem? - Bo ja nie widzę, a pomysł chyba dobry...
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Równanie wielomianowe

Post autor: Zahion »

Nigdzie, wszystko poprawnie rozwiązałeś, ale nie uwzględniłeś szczegółu malutkiego, a miałem nadzieję, że dodasz. Jeśli wielomian w drugim nawiasie oznaczymy jako \(\displaystyle{ W}\), to wtedy \(\displaystyle{ W(1) \neq 0}\), ze względu na to, że pierwiastki mają być różne, a to da nam nowy warunek, że \(\displaystyle{ p \neq 3}\), który w połączeniu z Twoim da Nam odpowiedz.
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Równanie wielomianowe

Post autor: Dilectus »

Masz rację. Myślałem o tym i zamierzałem napisać, że te dwa pierwiastki trójmianu muszą być różne od jeden, ale w końcu zapomniałem o tym. Dziękuję.
ODPOWIEDZ