Rozwiązać równanie

[arek1357]

Jakby się komuś chciało to niech rozwiąże:

\(\displaystyle{ 8x^3-4x^2-4x+1=0}\)

[niebieska_biedronka]

Jakby się może Tobie chciało to by Ci ktoś pomógł

[musialmi]

Kolega powiedział, że mu się chce.

Komuś by się musiało chyba bardzo chcieć, żeby to rozwiązał.

[Mariusz M]

musialmi, zaraz do wolframa się odwoływać Nie zawsze można z niego skorzystać

Zadanie jest dość schematyczne

Najpierw usuwamy wyraz \(\displaystyle{ -4x^2}\)
Jak znamy dwumian Newtona to łatwo wpadniemy na to jakie podstawienie zastosować

Można też rozwinąć ten wielomian względem dwumianu chociażby schematem Hornera

Zakładamy że pierwiastek równania zredukowanego jest w postaci sumy dwóch zmiennych i wstawiamy to do równania
Otrzymane równanie przekształcamy w układ równań który przypomina wzory Viete'a równania kwadratowego
Jeśli znajdziemy jeden pierwiastek pozostałe można znaleźć używając
zespolonych pierwiastków trzeciego stopnia z jedynki
(aby je dopasować wystarczy spojrzeć na układ równań przypominający wzory Viete'a równania kwadratowego)

Gdy otrzymane równanie kwadratowe ma pierwiastki zespolone to bawimy się wzorami de Moivre'a
i otrzymujemy pierwiastki wyrażone za pomocą funkcyj trygonometrycznych

U Śniadeckiego po wyeliminowaniu wyrazu z \(\displaystyle{ x^2}\)
następuje dopełnienie do sześcianu

Jeśli ktoś się bawił funkcjami symetrycznymi to od tej strony też można podejść do tego zadania

musialmi, tutaj niebieska_biedronka, ma trochę racji

[AndrzejK]

Podstawmy \(\displaystyle{ y=2x-\frac{1}{3}}\), mamy:
\(\displaystyle{ \left(y+\frac{1}{3} \right)^3-\left( y+\frac{1}{3} \right) ^2-2 \left(y+\frac{1}{3} \right)+1=0}\), czyli po wymnożeniu \(\displaystyle{ y^3-\frac{7}{3}y+\frac{7}{27}=0}\). Teraz kładziemy \(\displaystyle{ y=\frac{\alpha}{z}+z}\) i mnożymy obustronnie równanie przez \(\displaystyle{ z^3}\), otrzymując
\(\displaystyle{ z^6+\left( 3 \alpha-\frac{7}{3} \right) z^4 +\frac{7}{27}z^3+\left(3 \alpha^2-\frac{7}{3} \alpha \right)z^2 + \alpha^3 = 0}\). Stąd widać, że aby zredukować \(\displaystyle{ z^4}\) oraz \(\displaystyle{ z^2}\) musi być \(\displaystyle{ \alpha=\frac{7}{9}}\). Podstawmy jeszcze \(\displaystyle{ u=z^3}\) otrzymując zwykłe równanie kwadratowe.

\(\displaystyle{ u^2+\frac{7}{27}u+\frac{343}{729}=0}\), które już łatwo rozwiązać.

[arek1357]

No tak ale mając \(\displaystyle{ u_{1}= -\frac{7}{54}(1+ \sqrt{3}i ) , u_{2}= \frac{7}{54}(1- \sqrt{3}i )}\)

cały ambaras, żeby ładnie przez pierwiastniki wyznaczyć - \(\displaystyle{ z}\) czyli wyliczyć:

\(\displaystyle{ z= \sqrt[3]{ -\frac{7}{54}(1+ \sqrt{3}i )}= \sqrt[3]{ -\frac{7}{54} } \cdot \sqrt[3]{1+ \sqrt{3}i}=- \frac{1}{3} \sqrt[3]{ \frac{7}{2} } \cdot \sqrt[3]{1+ \sqrt{3}i}=}\)

\(\displaystyle{ - \frac{ \sqrt[3]{7} }{3} \cdot \sqrt[3]{ \frac{1}{2}+ \frac{ \sqrt{3} }{2}i }=}\)

\(\displaystyle{ - \frac{ \sqrt[3]{7} }{3} \cdot \sqrt[3]{\cos60^0+i\sin30^0}=}\)

\(\displaystyle{ - \frac{ \sqrt[3]{7} }{3} \cdot (\cos20^0+i\sin20^0)}\)

i tu nachodzi mnie niechęć do dalszego liczenia bo wiem że to po prostu męczenie kota!

[Mariusz M]

arek1357, no właśnie to jest casus irreducibilis a to oznacza że przez rzeczywiste pierwiastniki
tego nie wyrazisz
Swego czasu Rogal też nie mógł się z tym pogodzić

[arek1357]

I jest mi z tego powodu bardzo przykro heh trochę to dziwne nno ale...

[Mariusz M]

W przypadku równań trzeciego stopnia masz funkcje trygonometryczne
W przypadku równania piątego stopnia pierwiastków nie wyrazisz nawet używając zespolonych
pierwiastników , co nie znaczy że nie można ich znaleźć
Aby rozwiązać równanie piątego stopnia musisz jednak znać parę funkcji nieelementarnych
np funkcje hipergeometryczne

[arek1357]

"Fascynacja" tym równaniem wzięła mi się stąd ponieważ to równanie to odrzut z eksportu
tego zadania: 378680.htm#p5303644