wykaż, że wielomian ma 3 pierwiastki

[Lyzka]

Wykaż, że dla dowolnej wartości parametru \(\displaystyle{ p \in R\{- \frac{1}{2} ,0}}}\) wielomian:
\(\displaystyle{ W(x)=px ^{3}+(p-2)x ^{2} -(1+2p)x}\) ma trzy pierwiastki rzeczywiste.
Doprowadziłam do postaci \(\displaystyle{ W(x)=x[px ^{2} +(p-2)x-(1+2p)]}\)
wiec \(\displaystyle{ x _{1}=0}\) \(\displaystyle{ p \neq 0}\) i\(\displaystyle{ \Delta>0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=9p ^{2}+4}\)
więc dla każdego \(\displaystyle{ p \in R}\) \(\displaystyle{ 9p ^{2}+4>0}\) więc równanie ma\(\displaystyle{ 2}\) pierwiastki
a dla \(\displaystyle{ p=- \frac{1}{2}}\) \(\displaystyle{ x=0}\) lub \(\displaystyle{ x=-5}\) więc dla \(\displaystyle{ p=- \frac{1}{2}}\) wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) ma \(\displaystyle{ 2}\) rozwiązania (w tym jedno podwójne), dlatego \(\displaystyle{ p \neq - \frac{1}{2}}\).
Czy to jest dobrze? Czy nic nie ominęłam ?

[Premislav]

Trochę niechlujny zapis, ale wygląda OK - delta większa od zera, więc są dwa różne pierwiastki rzeczywiste, a do tego pierwiastkiem wielomianu jest \(\displaystyle{ 0}\), więc zadanie skończone.
Nie rozumiem tylko, czemu piszesz coś o \(\displaystyle{ p=- \frac 1 2}\), skoro o ile dobrze rozumiem, zostało ono wyrzucone z rozważań (miało być pewnie w treści dla \(\displaystyle{ p \in \RR \estminus \left\{ 0, -\frac{1}{2} \right\}}\)).

[Lyzka]

w tresci jest napisane tak jak napisalam ;p. A co do \(\displaystyle{ p=- \frac{1}{2}}\) to chodzilo mi tylko o udowodnienie

[Zahion]

Nie rozumiem tylko, czemu piszesz coś o \(\displaystyle{ p=- \frac 1 2}\), skoro o ile dobrze rozumiem, zostało ono wyrzucone z rozważań

Według mnie pominięcie tego, byłoby uznane za niekompletne zadanie, ponieważ udowodnienie, że wielomian \(\displaystyle{ W}\) ma dwa pierwiastki, nie zakończy zadania, należy jeszcze wykluczyć wszystkie pierwiastki podwójne, potrójne, jakoby takie były. Do warunków autora powinno być dodane, że \(\displaystyle{ W(0) \neq 0}\), stąd \(\displaystyle{ p \neq - \frac{1}{2}}\) i wtedy dowód byłby poprawny w całości.