Rozkład na ułamki proste

[hawk_007]

Jak rozłożyć na ułamki proste coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{\left( x ^{2}+1 \right) ^{2} }}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{\left( x ^{2}+1 \right) ^{2} }= \frac{Ax+B}{x^2+1}+ \frac{Cx+D}{\left( x ^{2}+1 \right) ^{2}}=\frac{1}{x^2+1}+ \frac{-1}{\left( x ^{2}+1 \right) ^{2}}}\)

[SlotaWoj]

Funkcja podcałkowa będzie taką sumą ułamków prostych:
\(\displaystyle{ \frac{A_1x+B_1}{x^2+1} + \frac{A_2x+B_2}{\left( x^2+1\right)^2 }}\)
Dodajemy je i licznik otrzymanego ułamka ma być tożsamościowy równy \(\displaystyle{ x^2}\).

[Mariusz M]

Po co ci ten rozkład na sumę ułamków prostych , całkę lepiej policzyć przez części
a odwrotną transformatę Laplace splotem

[hawk_007]

to w takim razie jak policzyć transformatę odwrotną? męczę się z tym przykładem i nijak nie może mi wyjść wynik:
\(\displaystyle{ 0,5(tcost+sint)}\)

[Mariusz M]

Splatasz dwa cosinusy

\(\displaystyle{ \int_{0}^{t}{\cos{\tau}\cos{\left( t-\tau\right) } \mbox{d}\tau}}\)

Tę całkę możesz liczyć na dwa sposoby
1. Korzystając z tożsamości \(\displaystyle{ \cos{ \alpha }\cos{ \beta }=\frac{1}{2}\left( \cos{\left( \alpha - \beta \right) }+\cos{\left( \alpha+ \beta \right) }\right)}\)
2. Przez części (Tutaj aby dało się ładnie policzyć przez części musisz rozwinąć \(\displaystyle{ \cos{\left( t-\tau\right) }}\) ze wzoru na cosinus różnicy)

Twierdzenie Borela

Transformata splotu jest równa iloczynowi transformat

Jeśli chodzi o rozkład na sumę ułamków prostych to tylko ten nad zespolonymi mógłby pomóc

[hawk_007]

nadal nie wiem jak to zastosować do tego przykładu

[Mariusz M]

To może tak , koledzy proponują tobie rozkład nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)
a tobie jest potrzebny nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\)
jeśli nie chcesz używać splotu

W zespolonych \(\displaystyle{ x^2+1}\) też się rozkłada więc twój rozkład powinien wyglądać tak

\(\displaystyle{ \frac{x^2}{\left( x^2+1\right)^2 }=\frac{x^2}{\left( \left( x+j\right)\left(x-j \right) \right)^2 }\\
\frac{x^2}{\left( \left( x+j\right)\left(x-j \right) \right)^2 }=\frac{A}{x+j}+\frac{B}{\left( x+j\right)^2 }+\frac{C}{x-j}+\frac{D}{\left( x-j\right)^2 }\\}\)

[hawk_007]

ok widze że chyba splot będzie szybszy ale na jakie dwie funkcje to rozbić do splotu?

[Mariusz M]

Zauważ że transformatą cosinusa jest \(\displaystyle{ \frac{s}{s^2+1}}\)

Gdy spleciesz ze sobą dwa cosinusy to dostaniesz \(\displaystyle{ \frac{s}{s^2+1} \cdot \frac{s}{s^2+1}}\)
zgodnie ze wzorem Borela a zatem otrzymasz to co trzeba

[hawk_007]

Korzystając ze splotu otrzymuję coś takiego:
\(\displaystyle{ 0,5 \int_{0}^{t}\left[ cos\left( 2T-t\right)-cos\left( t\right) \right]dT}\)

[Mariusz M]

Taką całkę powinieneś otrzymać pomijając to że nie dopisałeś \(\displaystyle{ \mbox{d}T}\)

[hawk_007]

i to rozbijam na różnice dwóch całek
tylko co zrobić z tym \(\displaystyle{ cos(2T-t)}\)

[Mariusz M]

Gdybyś użył podstawienia \(\displaystyle{ u=2T-t}\)
to byś wiedział jak liczyć
Pamiętaj t jest stałą więc możesz od razu ze wzorku \(\displaystyle{ \left( F\left( x\right)+C \right)^{\prime}=f\left( x\right)}\)

[hawk_007]

w takim razie całka z \(\displaystyle{ cos(2T-t)dT}\)
będzie równa
\(\displaystyle{ 0,5(0,5sin2T)}\)