Rozkład na ułamki proste

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \int{\cos{\left( 2T-t \right) } \mbox{d}T}\\
u=2T-t\\
\mbox{d}u=2 \mbox{d}T\\
\mbox{d}T= \frac{1}{2}\mbox{d}u\\
\frac{1}{2}\int{\cos{u} \mbox{d}u}\\
=\frac{1}{2}\sin{u}+C\\
\int{\cos{\left( 2T-t \right) } \mbox{d}T}=\frac{1}{2}\sin{\left(2T-t \right) }+C}\)

[hawk_007]

ok też już to obliczyłem tym sposobem a w takim razie całka z cos(t)dT jest równa sin(t)?

[Mariusz M]

Mea culpa mea culpa mea maxima culpa

Gdybyś rozwinął ten wzorek to co ci napisałem to by się okazało że jest on na iloczyn sinusów
więc w całce z godziny 17:01 powinieneś mieć sumę cosinusów

\(\displaystyle{ \cos{t}}\) należy potraktować jako stałą

[hawk_007]

teraz to już nic nie wiem

[Mariusz M]

Pomyliłem się z tymi wzorami na iloczyn cosinusów
Ja lubię w takich przypadkach całkować przez części i rzadko ich używam

W takich całkach rozwiń sobie sinus sumy, sinus różnicy, cosinus sumy , cosinus różnicy
i zobacz które z nich mogą się przydać

Korzystając ze splotu otrzymuję coś takiego:
\(\displaystyle{ 0,5 \int_{0}^{t}\left[ cos\left( 2T-t\right)-cos\left( t\right) \right]dT}\)

Zatem ta całka powinna wyglądać tak
\(\displaystyle{ 0,5 \int_{0}^{t}\left[ cos\left( 2T-t\right)+cos\left( t\right) \right]dT}\)

Całkujesz po \(\displaystyle{ \mbox{d}T}\) więc \(\displaystyle{ \cos{t}}\) jest stałą

[hawk_007]

ok wszystko jasne tylko jeszcze jedna rzecz ze wzorów redukcyjnych funkcji trygonometrycznych czy:
sin(-t) = -sin(t) ????-- 10 sty 2015, o 18:09 --nareszcie jest wynik :-D dzięki

[Premislav]

Tak.

[Mariusz M]

Miałem na myśli wzory

\(\displaystyle{ \sin{\left( \alpha \pm \beta \right) }=\sin{ \alpha }\cos{ \beta } \pm \cos{ \alpha }\sin{ \beta }\\
\cos{\left( \alpha \pm \beta \right) }=\cos{ \alpha }\cos{ \beta } \mp \sin{ \alpha }\sin{ \beta }\\}\)

Gdybyś ich użył to mógłbyś sprawdzić to co napisałem i zauważyłbyś że wzorek dotyczył iloczynu sinusów

Co do całki którą trzeba policzyć pierwszy składnik już policzyliśmy drugi to całka ze stałej


Gdybyś skorzystał z rozkładu na sumę ułamków prostych nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\)
to nie korzystałbyś ze splotu tylko z podstawowej tabeli transformat

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{c|c} f\left( t\right)&F\left( s\right) \\ \hline t^{n}&\Gamma\left( n+1\right)s^{-\left( n+1\right) } \\\hline e^{at}&\left( s-a\right)^{-1}\\\hline \sin{at}&a\left( s^2+a^2\right)^{-1}\\\hline \cos{at}&s\left( s^2+a^2\right)^{-1}\\\hline \end{tabular}}\)

Przesunięcie argumentu obrazu

\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{ e^{at}f\left( t\right) \right\}=F\left( s-a\right)}\)

Wzór na exponentę urojonego argumentu (czasami przypisywany Eulerowi)

\(\displaystyle{ e^{it}=\cos{t}+i\sin{t}}\)

Przyda się też wspomniana przez ciebie nieparzystość sinusa

[hawk_007]

tak wszystko się zgadza... mój bład też że nie sprawdziłem tego wzoru tylko przepisałem... ale wyliczylem wszystko i wynik wyszedł poprawny dzięki