Przy dzieleniu wielomianu

[Yar3c]

Przy dzieleniu wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez dwumian \(\displaystyle{ (x-1)}\) otrzymujemy wielomian
\(\displaystyle{ Q(x)= 8x^2+4x-14}\) oraz resztę \(\displaystyle{ R(x)=-5}\) Oblicz pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\). Zbadaj liczbę rozwiązań równania \(\displaystyle{ W(x)=m}\) w zależności od parametru \(\displaystyle{ m}\).

[leszczu450]

Yar3c, z czym kolega ma dokładnie problem ?

[Yar3c]

z ruszeniem

[jutrvy]

No dobra, a znasz jakieś twierdzenie o podzielności wielomianów?

Np takie cóś:

Jeśli \(\displaystyle{ \deg(W) \ge \deg(Q)}\), to istnieją takie wielomiany \(\displaystyle{ P, R}\), że

\(\displaystyle{ W = Q\cdot P + R}\), gdzie \(\displaystyle{ \deg(P) = \deg(W)-\deg(Q)}\), oraz \(\displaystyle{ \deg(R) < \deg(P)}\).

Skorzystaj z tego twierdzonka

[leszczu450]

Yar3c, \(\displaystyle{ W(x)=Q(x)(x-1) -5}\)

[Yar3c]

Nie ogarnę tego zadania

[leszczu450]

Yar3c, nie wiem z czym masz problem aż taki : )

\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)(x-1)-5}\)

To wiadomo skąd się wzięło ? Treść zadania mówi, że jak wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) podzielimy przez \(\displaystyle{ (x-1)}\) to otrzymamy wielomian \(\displaystyle{ Q(x)}\) i reszte \(\displaystyle{ R=-5}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ W(x)=(8x^2+4x-14)(x-1)-5}\)
\(\displaystyle{ W(x)=8x^3-8x^2+4x^2-4x-14x+14-5=8x^3-4x^2-18x+9=\\=4x^2(2x-1)-9(2x-1)= (4x^2-9)(2x-1)=(2x-3)(2x+3)(2x-1)}\)