Pierwiastki wielomianu piątego stopnia

[lol2000k]

Witajcie, mam pytanie co do pierwiastków wielomianu. Mam wielomian \(\displaystyle{ 20x ^{5} -60x ^{4} +400x ^{3} +400x ^{2} -6000x+2000}\), rozbijam go na \(\displaystyle{ (x ^{2} -10)(20x ^{3} -60x ^{2} +600x-200)}\), z tego wynika że oczywiście dwa pierwiastki z pierwszego nawiasu to \(\displaystyle{ - \sqrt{10}}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{10}}\), ale z pierwiastkami wielomianu trzeciego stopnia mam problem, to moje pierwsze działania z wielomianami trzeciego stopnia i pewnie to jakaś oczywista rzecz, ale pierwszym pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ 0,344...}\) , kolejnymi dwoma są \(\displaystyle{ 1,328... + 5,227i}\) oraz \(\displaystyle{ 1,328... - 5,227i}\), czyli liczby zespolone. No i rysując wykres tego wielomianu w kalkulatorze są trzy pierwiastki bez tych zespolonych. Może mi ktoś wyjaśnić zasadę działania tego, na moje oko część rzeczywista powinna być na wykresie i jeżeli odrzucam pierwiastki zespolone to jak to wyjaśnić dlaczego ich nie ma na wykresie?

[musialmi]

Bo żeby narysować taki wykres, to wykres musiałby być czterowymiarowy, ewentualnie trójwymiarowy Poza tym bardzo dokładnie "znalezione" pierwiastki

[lol2000k]

Co masz na myśli ze znalezieniem pierwiastków?

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ (20x ^{3} -60x ^{2} +600x-200)=0\\
x^3-3x^2+30x-10=0\\
x=y+1\\
\left( y+1\right)^3-3\left( y+1\right)^2+30\left( y+1\right)-10=0\\
y^3+3y^2+3y+1-3y^2-6y-3+30y+30-10=0\\
y^3+27y+18=0\\
y=u+v\\
\left( u+v\right)^3+27\left( u+v\right)+18=0\\
u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+27\left( u+v\right)+18=0\\
u^3+v^3+18+3\left( u+v\right)\left( uv+9\right)=0\\
\begin{cases} u^3+v^3+18=0 \\ 3\left( u+v\right)\left( uv+9\right)=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3+18=0 \\ uv+9=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-18 \\ uv=-9 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-18 \\ u^3v^3=-729 \end{cases} \\
t^2+18t-729=0\\
t^2+18t+81-810=0\\
\left( t+9-9 \sqrt{10} \right)\left( t+9+9 \sqrt{10} \right)=0\\
y= \sqrt[3]{-9-9 \sqrt{10} }+ \sqrt[3]{-9+9 \sqrt{10} } \\
x= \sqrt[3]{-9-9 \sqrt{10} }+ \sqrt[3]{-9+9 \sqrt{10} }+1\\}\)

Pozostałe pierwiastki równania możesz znaleźć używając pierwiastków trzeciego stopnia z jedynki
\(\displaystyle{ e^{ \frac{2k\pi \cdot i}{3} }}\)
albo dzieląc wielomian trzeciego stopnia przez dwumian i rozwiązując równanie kwadratowe

[musialmi]

Co masz na myśli ze znalezieniem pierwiastków?

Znalazłeś je za pomocą kalkulatora i zapisałeś w niecodziennej postaci - ułamków dziesiętnych.