Wyznaczanie przedziałów pierwiastków wielomianu

[martianho]

Witam! Problem dość błahy, a jednak nie mogę na niego znaleźć odpowiedzi w internecie.
Mam za zadanie wyznaczyć przedziały o długości maksymalnie 1/2 w których znajdują się pierwiastki równań, a równanie to:

\(\displaystyle{ x^{4} - 4 x^{3} + x ^{2} -3 = 0}\)

i generalnie zasadę znam, z Darbouxa wiemy, że jak znajdę przedział \(\displaystyle{ \left\langle a;b\right\rangle}\), gdzie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(a) < f(b) \\ f(a) < 0 \\ f(b) >0 \end{cases}}\)
to gdzieś między \(\displaystyle{ \left( a;b\right)}\) będzie takie \(\displaystyle{ c}\), dla którego \(\displaystyle{ f(c) = 0}\) potem starczy ten przedział brać na pół i w końcu zostaną przedziały o dł. 1/2 w których jest zmiana między ujemnymi wartościami, a dodatnimi. Tylko jedyny problem, jak sprytnie można chociaż mniej więcej znaleźć te przedziały, gdyż te równanie może mieć 4 rozwiązania i szukanie tego na chybił trafił nie jest chyba dobrym, a tym bardziej profesjonalnym pomysłem, czy jest na to jakiś bystry sposób, którego nie zauważam aby zlokalizować przedziały w których mogą być te pierwiastki z jakimś większym przybliżeniem, np o długości do 2 jednostek, np (0;2)?

[miodzio1988]

Możesz np skorzystać z metody Newtona. bierzesz praktycznie dowolną wartość i iteracyjnie znajdziesz przybliżenie miejsca zerowego. Szybki bardzo sposób, spróbuj

[martianho]

O, dziękuję bardzo! Zaraz sobie o niej poczytam, mam nadzieję, że zrozumiem, bo robienie tego zupełną zgadywanką jest wyjątkowo czasochłonne przy wyższych potęgach.

[miodzio1988]

Pisz jakby co, bo dużo tych metod jest, praktycznie wszystkie bardzo skuteczne

[martianho]

To będzie ten wzór prawda?

\(\displaystyle{ x _{n+1} = x_{n} - \frac{f(x)}{f'(x)}}\)

i teraz pod \(\displaystyle{ x_{n}}\) podstawiam dowolną liczbę, załóżmy 2?
Bo zrobiłem tak, podstawiłem następnie te 2 pod policzoną pochodną funkcji i pod funkcję, następnie do wzoru i wyszło mi \(\displaystyle{ 0,75}\), a choroba google pokazuje, że funkcja ta ma miejsce zerowe faktycznie w tej okolicy, tylko po drugiej stronie OX

\(\displaystyle{ x _{n+1} = x_{n} - \frac{x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} - 3}{4 x^{3} -12x^{2} + 2x}}\)
\(\displaystyle{ x _{n+1} = 2 - \frac{f(2)}{f'(2)}}\)
\(\displaystyle{ x _{n+1} = 2 - \frac{-15}{-12}}\)

Gdzieś zrobiłem błąd, czy może muszę dalej wykonywać przybliżenie i jeżeli mam kontynuować przybliżenie to następnie jako \(\displaystyle{ x_{n}}\) dalej mam podstawiać 2, a w liczebniku mam zostawić \(\displaystyle{ f(x)}\) czy może teraz w liczebniku ma być pierwsza pochodna a w mianowniku druga?

Sory, że tak zawracam głowę, ale chcę się nauczyć raz, a porządnie.

[miodzio1988]

Dalej przyblizaj, zobaczymy co tam wyjdzie

[martianho]

\(\displaystyle{ \frac{3}{4} - \frac{975}{912}}\)

Zeszło poniżej 0, ale chyba nie ma sensu teraz robić trzeciego przybliżenia przy takich liczbach, jednak rozumiem, że jak ma tę tendencję spadkową to kolejne przybliżenia dalej będą tę tendencję utrzymywać?

[miodzio1988]

Takie wybrales miejsce, gdzie \(\displaystyle{ 9}\) przyblizen daje sensowny wynik

Weź np \(\displaystyle{ x_{0}=-1}\)

po 4 iteracjach jest juz ok

W tych metodach czasami niestety trzeba troszkę iteracji zrobić, więc chyba wstawianie "na pałę" będzie szybsze

[martianho]

Właśnie przed chwilą z -1 zrobiłem, kiedy już złapałem o co chodzi i dużo sprawniej poszło, w razie gdybym utknął przy jakimś zadaniu tego typu zawsze będzie koło ratunkowe w postaci metody Newtona, także przeogromne dzięki i poleciały "pomógł", a tak w ogóle to szczęśliwego nowego roku!

[miodzio1988]

W razie czego pisz, też popróbuj innych metod, zobacz która Ci najbardziej odpowiada

Szczęśliwego nowego roku