Rozłożyć wielomian na czynniki

[squared]

Rozłożyć wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^{15}
+1}\) na czynniki nad ciałem \(\displaystyle{ Z_2}\).

Od razu widać, że \(\displaystyle{ W(1)=0}\), więc \(\displaystyle{ W(x)(x+1)(x^{12}+x^9+x^6+x^3+1)}\)

Potem drugi czynnik podzieliłem przez jedyny nierozkładalny wielomian stopnia 2 \(\displaystyle{ x^2+x+1}\) z sukcesem, tzn. bez resztą wyszło. Mam zatem \(\displaystyle{ W(x) = (x+1)(x^2+x+1)(x^{12}+x^9+x^6+x^2+1)}\). Drugi raz przez ten sam czynnik wychodzi z resztą. Czy mam po kolei sprawdzać teraz kolejno wielomiany nierozkładalne \(\displaystyle{ 3}\) stopnia, czy da się to jakoś sprytniej zrobić?

[Poszukujaca]

Jeśli jeden jest pierwiastkiem wielomianu to w rozkładzie powinieneś zapisać \(\displaystyle{ (x-1)}\).

[squared]

Nie ma czegoś takiego jak \(\displaystyle{ x-1}\), jesteśmy w ciele \(\displaystyle{ Z_2}\).Znaczy jest, ale to znaczy dokładnie to samo, co ja zapisałem.

\(\displaystyle{ (x-1) = (x+(-1)) = (x+1)}\)

[Poszukujaca]

Ok Dziękuję za sprostowanie.

[Medea 2]

Trzeba jakoś sprytniej, bo w rozkładzie pojawiają się wielomiany stopnia czwartego. Mnie udało się znaleźć \(\displaystyle{ 1+x+x^2+x^3+x^4}\), może pomoże Ci to w dalszych poszukiwaniach

[squared]

Eh, to mamy teraz:
\(\displaystyle{ W(x) = (x+1)(x^2+x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^8+x^7+x^5+x^4+x^3+x^2+1)}\)

No i co dalej? Ma ktoś pomysły?

Ponowię inne pytanie: jak sprytnie i sprawnie to zadanie rozwiązać?