Pierwiastek całkowity wielomianu z parametrem

[wloczykij17]

Wykaż, że dla każdej wartości parametru \(\displaystyle{ p}\) wielomian

\(\displaystyle{ w(x)=x^{3} - (p+1)x^{2}+(2p-3)x+2}\)

ma pierwiastek całkowity.

[Ania221]

Mogą być tylko 2 pierwiastki całkowite, \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 2}\)
Podstaw i zobacz, co wyjdzie.

[yorgin]

Ania221, mogą być cztery. Zapomniałaś o minusach.

[a4karo]

Mogą być tylko 2 pierwiastki całkowite, \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 2}\)
Podstaw i zobacz, co wyjdzie.

A kto powiedział,że \(\displaystyle{ p}\) jest całkowite?

[Zahion]

Przeto mamy \(\displaystyle{ W(2) = 0}\), co kończy dowód.

[Kacperdev]

a4karo, chyba nikt.
Jakie to ma znacznie. Wystarczy zobaczyć, że dla \(\displaystyle{ x=2}\) prawa strona się zeruje niezależnie od \(\displaystyle{ p}\).

[a4karo]

Ano znaczenie ma takie, że jak \(\displaystyle{ p}\) nie jest całkowite, to stwierdzenia Ania221 i yorgina sa pozbawione sensu.

[Ania221]

Ano znaczenie ma takie, że jak \(\displaystyle{ p}\) nie jest całkowite, to stwierdzenia Ania221 i yorgina sa pozbawione sensu.

A możesz wytłumaczyć, dlaczego?
Wielomian ma pierwiastek całkowity \(\displaystyle{ x=2}\) dla \(\displaystyle{ p \in R}\). Co należało udowodnić.

[yorgin]

Wielomian ma pierwiastek całkowity \(\displaystyle{ x=2}\) dla \(\displaystyle{ p \in R}\). Co należało udowodnić.

Ściślej - jeżeli przyjmiemy, że \(\displaystyle{ p\in\ZZ}\), to okazuje się, że \(\displaystyle{ x=2}\) jest pierwiastkiem. Ale w tym momencie możemy stwierdzić, całkowitość \(\displaystyle{ p}\) nie ingeruje w to, że \(\displaystyle{ w(2)=0}\).

[a4karo]

Ano znaczenie ma takie, że jak \(\displaystyle{ p}\) nie jest całkowite, to stwierdzenia Ania221 i yorgina sa pozbawione sensu.

A możesz wytłumaczyć, dlaczego?
Wielomian ma pierwiastek całkowity \(\displaystyle{ x=2}\) dla \(\displaystyle{ p \in R}\). Co należało udowodnić.

Wniosek, że jedynymi pierwiastkami mogę byc 1 lub 2 wyciągnęłaś na podstawie twierdzenia, że jeżeli wielomian o współczynnikach CAŁKOWITYCH i najstarszym współczynniku równym 1 ma pierwiastki wymierne, to są one dzielnikami wyrazu wolnego.
W tym przypadku założenia o całkowitości \(\displaystyle{ p}\) nie było, więc wniosek nie był uzasadniony.



Zauważcie, że nie odnoszę się tu do faktu czy 2 jest, czy nie jest pierwiastkiem. Zwracam jedynie uwagę na wyciągnięcie wniosku przy braku należytych przesłanek.

A to, że \(\displaystyle{ W(2)=0}\) jako pierwszy zauważył w tym wątku Zahion, a nie Ania221, żeby już być do końca szczerym

[Ania221]

Żeby już być do końca szczerym to chciałam zostawić pole dla autora wątku
Ale pierwszeństwo nie jest tu istotne