Dzielenie wielomianów; wyznacz A i B

[VanBuren]

Wielomian \(\displaystyle{ W(x) = ax^5 + bx^3 +x^2 - bx + a}\) przy dzieleniu przez każdy z dwumianów: \(\displaystyle{ x-1, x+1, x-4}\) daje tę samą resztę.
Wówczas:
a) \(\displaystyle{ a<b}\)
b) \(\displaystyle{ b>0}\)
c) \(\displaystyle{ a<0}\)

Nie mam pojęcia jak się zabrać do dzielenia, bo najpierw bym podzielił ten wielomian przez wszystkie dwumiany i ewentualnie potem próbował robić coś z resztą.

Zadanie z regionalnego konkursu, więcej niż jedna odpowiedź może być prawidłowa, lub wszystkie mogą być złe.

[Konradek]

Możesz użyć schematu Hornera, choć równie dobrze możesz policzyć wartość wielomianu dla \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ 4}\).

[sebnorth]

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{lllllll}
& a & 0 & b & 1 & -b & a \\
1 & a & a & a+b & a+b+1 & a+1 & 2a+1 \\
-1 & a & -a & a+b & -a-b+1 & a-1 & 1
\end{tabular}}\)

\(\displaystyle{ 2a + 1 = 1, a = 0}\)

podobnie \(\displaystyle{ b = - \frac{1}{4}}\)

ale sprawdź bo mogłem się pomylić

[loitzl9006]

sebnorth, mam tak samo.
Do autora
Trzeba wykorzystać takie twierdzenie:
Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez wielomian \(\displaystyle{ (x-a)}\) jest równa \(\displaystyle{ W(a)}\).

Z treści zadania oraz z tego twierdzenia wynika, że \(\displaystyle{ W(1)=W(-1)=W(4)}\)

\(\displaystyle{ W(1)=a+b+1-b+a=2a+1 \\ W(-1)=-a-b+1+b+a=1 \\ W(4)=1024a+64b+16-4b+a=1025a+60b+16}\)

zatem

\(\displaystyle{ W(1)=W(-1) \ \iff \ 2a+1=1\ \to \ a=0\\ W(4)=W(-1)\ \iff \ 1025a+60b+16=1\ \to \ 0+60b=-15\ \to \ b=-\frac14}\)

zatem wszystkie odp są ZŁE.