Różne zadania

[Filipescu]

1.Wielomiany \(\displaystyle{ W(x)}\) i \(\displaystyle{ P(x)}\) okreslone są wzorami:
\(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+2x^{2}-4x-8}\)
\(\displaystyle{ P(x)=x^{3}+4x^{2}-3x-18}\)
a)Wielomiany \(\displaystyle{ W(x)}\) i \(\displaystyle{ P(x)}\) przedstaw w postaci iloczynowej.
b) Wielomian \(\displaystyle{ Q(x)=(x-1)\cdot W(x)+(1-x)\cdot P(x)}\) rozłóż na czynniki mozliwie najniższego stopnia

2.Liczba -1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^{4}+2x^{2}-3x^{2}-8x-4}\)
a) Wyznacz pozostale pierwiastki wielomianu W(x)
b) Przedstaw wielomian W(x) w postaci iloczynowej

3. Wielomiany \(\displaystyle{ W(x)=a(x-2)(x-3)+b(x-1)(x-3)+c(x-1)(x-2)}\) i
\(\displaystyle{ G(x)=5x^{2}-19x+18}\) są równe wyznacz liczby a,b,c.

[luka52]

ad 1.
a)
\(\displaystyle{ W(x) = x^2 (x + 2) - 4(x+2) = (x+2) (x^2 -4) = (x+2)^2 (x-2)\\
P(x) = x^3 - 2x^2 + 6x^2 - 12x + 9x - 18 = (x-2)(x^2 + 6x + 9) = (x-2)(x+3)^2}\)

b)
\(\displaystyle{ Q(x) = (x-1)(x+2)^2 (x-2) - (x-1)(x-2)(x+3)^2 = (x-1)(x-2)\left((x+2)^2 - (x+3)^2 \right) = -(x-1)(x-2)(2x+5)}\)

[ Dodano: 3 Czerwica 2007, 12:46 ]
ad 2.
a)
\(\displaystyle{ W(x) : (x+1)^2 = (x+2)(x-2)}\)
Pozostałe pierwsiatski: 2, -2
b)
\(\displaystyle{ W(x) = (x+1)^2 (x+2)(x-2)}\)

[ Dodano: 3 Czerwica 2007, 12:49 ]
ad 3.
\(\displaystyle{ W(x) = x^2 (a+b+c) + x (-3c-4b-5a) + 6a + 3b + 2c\\
\begin{cases} a+b+c=5 \\ -3c-4b-5a = -19 \\ 6a + 3b + 2c = 18 \end{cases}}\)

[Filipescu]

wielkie dzieki.