Wielomian trzeciego stopnia - problem z pierwiastkami

Runnerek · Post autor: **Runnerek** » 16 gru 2014, o 11:48

Witam, nie mogę poradzić sobie z tym równaniem i niestety nie wiem jak to zacząć. Prosiłbym o jakieś rady i ewentualną pomoc przy rozwiązaniu.

\(\displaystyle{ 4x^{3} + 2x^{2} - 3x + 2 = 0}\)

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 16 gru 2014, o 12:03

Podstaw
\(\displaystyle{ x=u+v-\frac{1}{6}}\)
i pokaż co otrzymasz

scyth · Post autor: **scyth** » 16 gru 2014, o 12:07

122194.htm

Runnerek · Post autor: **Runnerek** » 16 gru 2014, o 12:37

\(\displaystyle{ 4(u+v- \frac{1}{6} )^{3} + 2(u+v- \frac{1}{6} )^{2} - 3(u+v- \frac{1}{6} ) + 2 = 0}\)

\(\displaystyle{ 4(u+v- \frac{1}{6} )^{3} + [2(u^{2} + v^{2} + \frac{1}{36} + 2uv - \frac{1}{3}u - \frac{1}{3}v] - 3u -3v - \frac{1}{2} + 2}\)

\(\displaystyle{ 4(u+v- \frac{1}{6} )^{3} + 2u^{2} + 2v^{2} + \frac{1}{18} + 4uv - \frac{2}{3}u - \frac{2}{3}v -3u -3v - \frac{1}{2} + 2}\)

\(\displaystyle{ 4(u+v- \frac{1}{6} )^{3} + 2u^{2} + 2v^{2} + 4uv - 3\frac{2}{3}u - 3\frac{2}{3}v + \frac{28}{18}}\)

tej cześci \(\displaystyle{ 4(u+v- \frac{1}{6} )^{3}}\) nie wiem jak ogarnąć, wg wzoru skróconego mnożenia tylko zamiast do drugiej potęgi zrobić do trzeciej?

jeżeli chodzi o cardano vs vieta to nie rozumiem nic co tam jest napisane, od której strony tam to zacząć?

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 16 gru 2014, o 21:02

Rozpisz sobie ten sześcian ze wzoru skróconego mnożenia
Jeśli nie pamiętasz wzorku dla sumy trzech składników to możesz skorzystać z łączności dodawania

\(\displaystyle{ \left( \left( u+v\right)-\frac{1}{6} \right)^3=\left( u+v\right)^3- \frac{1}{2}\left( u+v\right)^2+ \frac{1}{12}\left( u+v\right)- \frac{1}{216}\\
=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3-\frac{1}{2}u^2-uv-\frac{1}{2}v^2+\frac{1}{12}u+\frac{1}{12}v-\frac{1}{216}\\}\)

Runnerek · Post autor: **Runnerek** » 18 gru 2014, o 13:11

o dziękuje, że mi rozpisałeś tą jedną część.

czyli wszystko na końcu wychodzi:

\(\displaystyle{ 4u^{3}+12u^{2}v+ 12uv^{2} + 4v^{3} - 2u^{2} - 4uv - 2v^{2} + \frac {1}{3}u+\frac {1}{3}v - \frac {1}{54} + 2u^{2} + 2v^{2} + 4uv - 3\frac{2}{3}u - 3\frac{2}{3}v + \frac{28}{18}}\)

\(\displaystyle{ 4u^{3}+12u^{2}v+ 12uv^{2} +4v^{3} - \frac{180}{54}u - \frac{180}{54}v + \frac{85}{54} = 0}\)

to wszytko można pomnożyć przez 54 wg mnie i będzie chyba łatwiej?

\(\displaystyle{ 216u^{3}+216v^{3}+648u^{2}v+ 648uv^{2} - 180u - 180v +85 = 0}\)

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 18 gru 2014, o 13:37

Dla wygody możesz podstawić za \(\displaystyle{ w_{1}=6u\\w_{2}=6v}\)

Pogrupuj to równanie
Co możesz wyciągnąć z \(\displaystyle{ 648u^2v+648uv^2-180u-180v}\)

Runnerek · Post autor: **Runnerek** » 19 gru 2014, o 02:03

\(\displaystyle{ 216u^{3}+216v^{3}+(216uv-60)*(3u+3v) +85 = 0}\)

w1 i w2 to o to chodzi? \(\displaystyle{ 216u^{3}+216v^{3}}\)

\(\displaystyle{ 6u+6v+(216uv-60)*(3u+3v) +85 = 0}\)

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 19 gru 2014, o 11:33

Jeżeli uda ci się z tego równania otrzymać układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=q \\ u^3v^3=-\frac{p^3}{27} \end{cases}}\)

to już będzie łatwo

Musisz albo przeskalować to równanie albo podzielić przez \(\displaystyle{ 216}\)