Równania wielomianowe z parametrem

[Rhosbolg]

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m\left( m \in R\right)}\) równanie \(\displaystyle{ \left( m+2\right)x ^{3}-2x ^{2}+\left( m+3\right)x=0}\) ma trzy różne rozwiązania?

Witam! Tak więc nie wiem jak się wziąć za to zadanie . Proszę o wyjaśnienie i z góry dziękuje ;]

[kerajs]

\(\displaystyle{ \left( m+2\right)x ^{3}-2x ^{2}+\left( m+3\right)x=0\\
x\left[ \left( m+2\right)x ^{2}-2x +\left( m+3\right)\right] =0}\)
Jednym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x=0}\).
Jakie teraz muszą być wspólczynniki trójmianu kwadratowego aby były dwa rózne rozwiazania i żadne z nich nie było zerem?

[Rhosbolg]

Do wyznaczenia potrzebna będzie delta?

Jeśli tak wychodzi mi \(\displaystyle{ -4m ^{2}-20m-20}\)

\(\displaystyle{ -20 ^{2}-4 \cdot \left( -4\right) \cdot \left( -20\right) = 80}\)
\(\displaystyle{ m _{1}= \frac{20 + \sqrt{80} }{-8}}\)
\(\displaystyle{ m _{2}= \frac{20 - \sqrt{80} }{-8}}\)

[wujomaro]

Tak, podaj konieczne założenia.

Jakie teraz muszą być wspólczynniki trójmianu kwadratowego aby były dwa rózne rozwiazania i żadne z nich nie było zerem?

Pozdrawiam!

[kerajs]

Kiedy trójmian o nieznanych współczynnikach ma dwa różne rozwiazania?
Gdy jest trójmianem (\(\displaystyle{ a \neq 0}\)) i ma dwa różne rozwiązania ( \(\displaystyle{ \Delta>0}\) ).
A kiedy rozwiązaniem nie jest zero ? Gdy \(\displaystyle{ c \neq 0}\).

[Rhosbolg]

\(\displaystyle{ \left( m+2\right)x ^{2}-2x+\left( m+3\right)=0}\)
\(\displaystyle{ c=\left( m+3\right)}\)
\(\displaystyle{ m+3 \neq 0}\)
\(\displaystyle{ m \neq -3}\) \(\displaystyle{ \cup}\) \(\displaystyle{ m \neq -2}\)
Nie wiem co dalej ];

[Dilectus]

Policz po ludzku deltę i wymagaj, żeby była większa od zera.

\(\displaystyle{ \left( m+2\right)x ^{2}-2x+\left( m+3\right)=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=4-4\left( m+2\right)\left( m+3\right) >0}\)

\(\displaystyle{ \Delta= 4-4\left( m^2+5m+6\right)=-4m^2-20m-20}\)

\(\displaystyle{ \Delta _{\Delta}= 400-16 \cdot 20=80}\)

\(\displaystyle{ m _{1} = \frac{20-4 \sqrt{5} }{-8}= - \frac{5- \sqrt{5} }{2}}\)

\(\displaystyle{ m _{2} = \frac{20+4 \sqrt{5} }{-8}= - \frac{5+ \sqrt{5} }{2}}\)

\(\displaystyle{ \Delta>0 \Leftrightarrow m \in \left( - \frac{5- \sqrt{5} }{2}, \ - \frac{5+ \sqrt{5} }{2}\right)}\)

Sprawdź jeszcze, czy \(\displaystyle{ m=-3}\) i \(\displaystyle{ m=-2}\) należą do tego przedziału. Jeśli tak, to je wyklucz.