Suma pierwiastków wielomianu stopnia trzeciego

[neron0308]

Jeśli pierwiastki wielomianu stopnia trzeciego spełniają równania:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}= 4k \\ x_{1}x_{2}x_{3}=nk \end{cases}}\), dla pewnych \(\displaystyle{ n,k \in \mathbb{N}}\)
to czy możliwe jest znalezienie sumy pierwiastków \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}}\) za pomocą zmiennych \(\displaystyle{ n, k}\) ?

[Zordon]

Zauważ, że \(\displaystyle{ (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+4kx-nk}\)
Więc, nie da się.

[neron0308]

A gdyby zawęzić założenia, że pierwiastki tego wielomianu są całkowite to także nie da się ustalić ich sumy?

[Dilectus]

A może z wzorów Viete'a dla wielomianu stopnia trzeciego?

Dla wielomianów stopnia trzeciego, postaci
\(\displaystyle{ ax^3 + bx^2 + cx + d= 0}\), o pierwiastkach \(\displaystyle{ x_1, \ x_2, \ x_3}\)
wzory te mają postać:

\(\displaystyle{ x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a}}\),
\(\displaystyle{ \quad x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a}}\),
\(\displaystyle{ \quad x_1 x_2 x_3 = - \frac{d}{a}}\).

[Zordon]

Napisałem to już powyżej.
Nie da się ustalić sumy, nawet gdy są całkowite.

[Dilectus]

U nas

\(\displaystyle{ x _{1}x_2+x_2x_3+x_1x_3=4k= \frac{c}{a}}\)

\(\displaystyle{ x_1x_2x_3=- \frac{d}{a}=nk}\)

Posługując się tymi wzorami, wyraźmy sumę pierwiastków przez ich iloczyn:

\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=- \frac{b}{a}= \frac{b}{d}nk=- \frac{b}{c}4k}\)

Jeśli zatem

\(\displaystyle{ -\frac{b}{d}nk= \frac{b}{c}4k}\)

to

\(\displaystyle{ n=-4 \frac{d}{c}}\)

Pamiętamy, że

\(\displaystyle{ - \frac{d}{a}=nk}\)

więc

\(\displaystyle{ k=- \frac{d}{an}= \frac{d}{a} \cdot \frac{c}{4d}= \frac{c}{4a}}\)


Widać, że jeśli \(\displaystyle{ n,k \in \mathbb{N}}\), to

\(\displaystyle{ \frac{d}{c} \in \mathbb{N}}\)

i

\(\displaystyle{ \frac{c}{4a} \in \mathbb{N}}\)

[neron0308]

Ale z tego nie da się chyba wyznaczyć \(\displaystyle{ \frac{-b}{a}}\) za pomocą n i k.