Wyznacz pierwiastki wielomianu...

[maciej365]

Proszę o pomoc, jak krok po kroku rozwiązać takowe zadanie.

Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+px^{2}-x+2}\) przez \(\displaystyle{ x-3}\) jest równa 8,
Wyznacz wartość parametru p oraz wszystkie pierwiastki tego wielomianu.

Jak mam wykorzystać resztę w tym zadaniu? Co zrobić z parametrem p?

[AndrzejK]

Skoro reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W}\) przez \(\displaystyle{ x-3}\) jest równa 8, to \(\displaystyle{ W(3)=?}\). Otrzymasz równanie z jedną niewiadomą, a więc możesz wyznaczyć wartość parametru \(\displaystyle{ p}\).

[maciej365]

Skoro reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W}\) przez \(\displaystyle{ x-3}\) jest równa 8, to \(\displaystyle{ W(3)=?}\). Otrzymasz równanie z jedną niewiadomą, a więc możesz wyznaczyć wartość parametru \(\displaystyle{ p}\).

Acha, czyli zamiast zera po drugiej stronie wstawiam 8?

[AndrzejK]

Tak.

[a4karo]

Acha, czyli zamiast zera po drugiej stronie wstawiam 8?

Może warto sobie uświadomić dlaczego tak jest.
Jeżeli reszta z dzielenia jednego wielomianu przez drugi jest \(\displaystyle{ 8}\), to znaczy, że istnieje wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\) taki, że
\(\displaystyle{ W(x)=(x-3)P(x)+8}\)

Wstawiając tutaj \(\displaystyle{ x=3}\) stwierdzamy, że \(\displaystyle{ W(3)=8}\).