Miejsca zerowe funkcji wielomianowej

Dario1 · Post autor: **Dario1** » 10 gru 2014, o 15:54

Wykaż, że funkcja wielomianowa \(\displaystyle{ f\left( x\right)=x ^{100}+mx+n}\) ma, dla dowolnych \(\displaystyle{ m,n \in R}\), co najwyżej dwa miejsca zerowe.

Równanie \(\displaystyle{ x ^{100}+mx+n=0}\) przedstawiłem w postaci \(\displaystyle{ x ^{100}=-mx-n}\).

W odpowiedziach jest, że w takim przypadku lewa strona jest funkcją potęgową, a prawa funkcją liniową.
Trzeba uzasadnić, że wykresy tych funkcji mogą mieć co najwyżej dwa punkty wspólne. Niby oczywiste, ale jak to udowodnić?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 10 gru 2014, o 17:16

Zauważ, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x^{100}}\) jest . Rysunek w podlinkowanym artykule wyjaśnia sprawę całkowicie.

Prosta może być sieczną wykresu funkcji ściśle wypukłej i wtedy przecina go w dokładnie dwóch punktach. Może być styczna (jeden punkt), a może być zewnętrzna (brak przecięć).

Dario1 · Post autor: **Dario1** » 12 gru 2014, o 11:36

No dobrze, ale to zadanie jest jeszcze ze szkoły średniej, a w niej nie wprowadza się pojęcia wypukłości(przynajmniej w podręczniku który mam nie ma tego pojęcia). Więc wolałbym zobaczyć rozwiązanie bez wykorzystywania tego pojęcia. Ale jak już jesteśmy przy tej wypukłości to czy mógłbyś udowodnić z definicji, że ta funkcja jest faktycznie wypukła? Bo ja dochodzę tylko do tego:

\(\displaystyle{ \left( \alpha x _{1}+ \beta x _{2} \right) ^{100} \le \alpha x _{1} ^{100}+ \beta x _{2} ^{100}}\)

I nie wiem jak dalej to pokazać.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 12 gru 2014, o 12:09

Druga pochodna.

Dario1 · Post autor: **Dario1** » 12 gru 2014, o 13:01

A możesz policzyć tą drugą pochodną bo jakoś tego nie widzę. Po czym mam różniczkować po \(\displaystyle{ x _{1}}\) czy \(\displaystyle{ x _{2}}\)?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 12 gru 2014, o 16:18

Jeśli \(\displaystyle{ f''(x)\ge 0}\), a \(\displaystyle{ f''(x)=0}\) dla co najwyżej skończenie wielu punktów dziedziny, to funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ściśle wypukła. Masz \(\displaystyle{ f(x)=x^{100},\;f'(x)=100x^{99},\;f''(x)=9900x^{98}>0}\) dla \(\displaystyle{ x\ne 0}\) oraz \(\displaystyle{ f''(0)=0}\). Więc \(\displaystyle{ f}\) jest ściśle wypukła w \(\displaystyle{ \RR}\).

Dario1 · Post autor: **Dario1** » 12 gru 2014, o 16:52

No ok, teraz widzę, że funkcja jest ściśle wypukła. Bo rozumiem, że powołujesz się na twierdzenie, że jeśli druga pochodna jest większa równa zero i równa zero dla skończenie wielu punktów to funkcja jest ściśle wypukła. Dobrze mówię? OK. A jeszcze intryguje mnie ten fragment:

szw1710 pisze: Prosta może być sieczną wykresu funkcji ściśle wypukłej i wtedy przecina go w dokładnie dwóch punktach. Może być styczna (jeden punkt), a może być zewnętrzna (brak przecięć).

Skąd to wiesz? Jest takie twierdzenie? Wynika to jakoś bezpośrednio z definicji funkcji wypukłej?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 12 gru 2014, o 16:56

Narysuj sobie wykres funkcji ściśle wypukłej i spróbuj go przeciąć prostą. Ile otrzymujesz punktów przecięcia? To sa intuicje, ale na tyle silne, że można w nie uwierzyć. Ścisłe dowody też sa dostępne.

Dario1 · Post autor: **Dario1** » 12 gru 2014, o 17:05

a4karo, zdaję sobie sprawę, że to jest zgodne z intuicją i to jest prawda, jednak interesuje mnie dowód tego, bo o to chodziło w zadaniu.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 12 gru 2014, o 17:33

Dlatego Ci go podałem w oparciu o ścisłą wypukłość funkcji, dałem też kryterium sprawdzenia ścisłej wypukłości. Czegóż chcesz więcej? A skąd znam te twierdzenia? Bo zajmuję się matematyką, i to profesjonalnie. Przeczytaj mój podpis. Ale często też robię błędy, od czego nikt nie jest wolny. Nadrabiam jednak doświadczeniem i jako-takim arsenałem znanych mi środków.

A to, o co pytasz, wynika bezpośrednio z definicji wypukłości (ścisła wypukłość to detal - będą tylko silne nierówności). A tak naprawdę, wynika to z ulubionej przez niektórych członków tego Forum monotoniczności ilorazów różnicowych funkcji wypukłej.

Proponuję przeprowadzenie dowodu dla treningu.

Dowodzi się też, że funkcja \(\displaystyle{ f:I\to\RR}\) (\(\displaystyle{ I\subset\RR}\) jest przedziałem) jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych \(\displaystyle{ x_1<x_3<x_3\in I}\) zachodzi nierówność

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
1&1&1\\ x_1&x_2&x_3\\ f(x_1)&f(x_2)&f(x_3)
\end{vmatrix}\ge 0}\)

(dla ścisłej wypukłości będzie dodatniość). Pokaż i ten warunek oraz twierdzenie o zachowaniu się siecznej za jego pomocą.

Jarmil · Post autor: **Jarmil** » 12 gru 2014, o 17:50

Wystarczy pokazać że funkcja ma przegięcie w jednym punkcie, czyli policzyć pierwszą pochodną, przyrównać do \(\displaystyle{ 0}\) i wyliczyć \(\displaystyle{ x_0}\), jeśli funkcja ciągła ma jedno przegięcie, wtedy może przeciąć \(\displaystyle{ OX}\) maksymalnie w dwóch punktach. Ponieważ ma parzysty stopień, oba krańce zmierzają do minus albo plus nieskończoności. Po wstawieniu wyliczonego \(\displaystyle{ x_0}\) do równania, dostajemy wzór na drugą współrzędną punktu przegięcia zależną od \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\), jeśli \(\displaystyle{ f(x_0)>0}\) a współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, wtedy nie ma żadnych pierwiastków rzeczywistych, jeśli \(\displaystyle{ f(x_0)=0}\), mamy jeden pierwiastek rzeczywisty i jest to punkt przegięcia wykresu, jeśli \(\displaystyle{ f(x_0)<0}\) wtedy mamy dwa pierwiastki rzeczywiste. Przy funkcji wielomianowej o stopniu parzystym, możliwa jest sytuacja że równanie nie ma żadnego pierwiastka rzeczywistego. Natomiast przy funkcjach o stopniu nieparzystym, przynajmniej jeden pierwiastek jest rzeczywisty. To sie bierze stąd że oba krańce takiej funkcji zmierzają w przeciwne strony, jeden do plus a drugi do minus nieskończoności, zakładając ciągłość funkcji, to wskazuje istnienie przynajmniej jednego przecięcia przez oś \(\displaystyle{ x}\).

-- 12 gru 2014, o 18:09 --

Co oznacza punkt przegięcia? dla funkcji wielomianowej o stopniu parzystym i współczynniku dodatnim przy najwyższej potędze, w równaniu z zadania:
dla każdego \(\displaystyle{ x}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ f(x)>=f(x_0)}\), gdzie \(\displaystyle{ x_0}\) to wartość \(\displaystyle{ x}\) wyliczona z równania \(\displaystyle{ f'(x)=0}\), czyli jest to współrzędna \(\displaystyle{ x}\), punktu przegięcia wykresu, wartość \(\displaystyle{ f(x_0)}\) to współrzędna \(\displaystyle{ y}\).

Gdyby punktów przegięcia było więcej, dla funkcji o takich samych cechach co powyższa, wtedy
\(\displaystyle{ f'(x)=0}\) dostajemy zbiór współrzędnych \(\displaystyle{ x}\) punktu przegięcia\(\displaystyle{ X0}\) oraz zbiór wartość \(\displaystyle{ Y0=f(X0)}\), tutaj zachodzi:

\(\displaystyle{ f(x)>=min(Y0)}\) dla każdego\(\displaystyle{ x}\).

a4karo · Post autor: **a4karo** » 12 gru 2014, o 19:36

Gdyby funkcja wypukłą \(\displaystyle{ f}\) i prosta miały trzy punkty wspólne odpowiadające argumentom \(\displaystyle{ a<b<c}\), to dla \(\displaystyle{ d\in (a,b)}\) i \(\displaystyle{ e\in (b,c)}\) jej wartości musiałyby leżeć pod prostą. ale wtedy \(\displaystyle{ f(b)}\) leżałoby nad odcinkiem łączącym \(\displaystyle{ (d,f(d))}\) i \(\displaystyle{ (e,f(e))}\) - sprzeczność z wypukłością.