Rozkładanie wielomianów za pomo cą układu równań

pgnobeda · Post autor: **pgnobeda** » 6 gru 2014, o 15:37

Dzień dobry.

Chciałbym się zapytać o sposób rozkładania wielomianów. Mianowicie, np. wielomian \(\displaystyle{ x^4+Ax^3+Bx^2+Cx+D}\) możemy rozłożyć na \(\displaystyle{ (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)}\), a więc:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+c=A \\ b+d+ac=B \\ cb+ad=C \\bd = D \end{cases}}\)
I moje pytanie jest takie: jak szybko rozwiązać taki "wielomianowy" układ równań? Chodzi mi o jakąś taką ogólną metodę którą mógłbym używać w tego typu zadaniach (poziom liceum).

PS. forumowe sprawdzanie tytułów słabo działa, nie chciało mi zaakceptować tytułu tego tematu dopóki nie dodałem spacji.

jutrvy · Post autor: **jutrvy** » 6 gru 2014, o 16:02

Szczerze mówiąc, to niestety na chama - podstawiając, albo dodając stronami, dzieląc stronami itp. Są przecież techniki, które pozwalają na rozkładanie takich wielomianów bez liczenia takich układów równań, np. grupowanie wyrazów, czy jakoś tak...

Poszukaj w podręcznikach licealnych.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 6 gru 2014, o 18:34

jutrvy pisze:Są przecież techniki, które pozwalają na rozkładanie takich wielomianów bez liczenia takich układów równań, np. grupowanie wyrazów, czy jakoś tak...

Poszukaj w podręcznikach licealnych.

No tak ale ten sposób działa na każde równanie czwartego stopnia
Kiedyś Rogal wspomniał jak ten układ najlepiej rozwiązać

https://www.matematyka.pl/259195.htm#p4759727

W pewnym momencie otrzymasz równanie trzeciego stopnia

Miałeś takie coś jak
1.Przekształcanie równań (dodawanie i mnożenie stronami )
2.Wzory skróconego mnożenia
3. Trójmian kwadratowy
4. Wzory Viete'a
5. Trygonometrię
(wielomiany Czebyszewa mogą być przydatne ,
lub chociaż wzór na funkcje trygonometryczne (sinus bądź cosinus) potrojonego argumentu)
\(\displaystyle{ x^3+px=q}\)
Jeśli uda ci się wielomian po lewej stronie sprowadzić do wielomianu Czebyszewa
to po podstawieniu trygonometrycznym rozwiążesz równanie
Przyda się też funkcja odwrotna bo argument funkcji trygonometrycznej będzie
wyrażony za pomocą funkcji odwrotnej do trygonometrycznej
6. Podstawowe wiadomości o funkcjach w tym także złożenie i funkcję odwrotną

Jeśli chcesz rozwiązać to równanie ogólnie , a nie dla przypadków szczególnych
to równania trzeciego stopnia nie unikniesz