Nierówności wielomianowe.

[damian1314]

Witam! Mam problem z jednym zadaniem z nierówności wielomianowych. Próbowałem je rozwiązać na wiele sposobów lecz po godzinie poległem. Byłby ktoś w stanie mi pomóc i rozwiązać zadania lub chociaż jedno by mnie naprowadzić jakim sposobem to trzeba robić? Z góry dziękuję.
1) \(\displaystyle{ x ^{3} -2x ^{2} -12x-8>0}\)
2) \(\displaystyle{ -3x ^{3} + 4x ^{2} +16x+8 \le 0}\)
3) \(\displaystyle{ x ^{4} -6x ^{3} + 8x ^{2} +6x-9 \le 0}\)

[Premislav]

Strasznie niechlujny zapis. To zadanie sprowadza się w sumie do szukania pierwiastków.
Np. ostatnie: zauważmy, że \(\displaystyle{ 1}\) jest pierwiastkiem, takoż \(\displaystyle{ -1}\), więc ten wielomian się dzieli przez \(\displaystyle{ (x-1)(x+1)}\). Więc podziel go przez taki wielomian (np. pisemnie albo schematem Hornera) i dostaniesz wielomian stopnia \(\displaystyle{ 2.}\), a pierwiastki takiego, jesli są, znajdziesz nawalając deltą lub zwijając do postaci kanonicznej.
Ogólnie to tutaj mogą być pomocne następujące rzeczy: grupowanie, twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu,
podstawianie na pałę najprostszych wartości. Po znalezieniu pierwiastków można naparzać klasycznymi schematami ze szkoły średniej, tj. jak współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, to granicą przy \(\displaystyle{ x->\infty}\) jest \(\displaystyle{ \infty}\), potem wybieramy największy pierwiastek nieparzystej krotności, itd.
W razie problemów pisz.

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ -3x ^{3}+4x ^{2}+16x+8 \le 0}\)

\(\displaystyle{ -3x ^{3}+4x ^{2}+16x+8=0\\
3x^3-4x^2-16x-8=0\\
x=y+\frac{4}{9}\\
3\left( y+ \frac{4}{9} \right)^3-4\left( y+\frac{4}{9}\right)^2-16\left( y+\frac{4}{9}\right)-8=0\\
3\left( y^3+\frac{4}{3}y^2+ \frac{16}{27}y+ \frac{64}{729} \right)-4\left( y^2+ \frac{8}{9}y+ \frac{16}{81} \right)-16y-\frac{64}{9}-8=0\\
3y^3-\frac{160}{9}y-\frac{11400}{729}=0\\
y^3- \frac{160}{27}y-\frac{3800}{729}=0\\
y=u+v\\
u^3+3u^2v+3uv^2+v^3- \frac{160}{27}\left( u+v\right)-\frac{3800}{729}=0\\
u^3+v^3-\frac{3800}{729}+3\left( u+v\right)uv-\frac{160}{27}\left( u+v\right)=0\\
u^3+v^3-\frac{3800}{729}+3\left( u+v\right)\left( uv-\frac{160}{81}\right)=0\\
\begin{cases} u^3+v^3-\frac{3800}{729}=0 \\ uv-\frac{160}{81}=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=\frac{3800}{729} \\ uv=\frac{160}{81} \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=\frac{3800}{729} \\ u^3v^3=\frac{4096000}{531441} \end{cases} \\
t^2-\frac{3800}{729}t+\frac{4096000}{531441}=0\\
\Delta= \frac{14440000-16384000}{531441}<0}\)

Teraz albo liczysz na zespolonych albo wracasz do równania

\(\displaystyle{ y^3- \frac{160}{27}y-\frac{3800}{729}=0\\
y^3- \frac{160}{27}y=\frac{3800}{729}}\)

i próbujesz je sprowadzić do wzoru na funkcje trygonometryczne
(sinus bądź cosinus) potrojonego argumentu

\(\displaystyle{ y=u\cos{\theta}}\)

\(\displaystyle{ y^3- \frac{160}{27}y=\frac{3800}{729}\\
u^3\cos^3{\theta}-\frac{160}{27}u\cos{\theta }=\frac{3800}{729}\\
-\frac{160}{27} \frac{1}{u^2}=-\frac{3}{4}\\
-\frac{160}{27u^2}=-\frac{3}{4}\\
640=81u^2\\
\left( 9u-8 \sqrt{10} \right)\left( 9u+8 \sqrt{10} \right)=0\\
u=\frac{8}{9} \sqrt{10}\\
y=\frac{8}{9} \sqrt{10}\cos{\theta}\\
\frac{5120}{729}\sqrt{10}\cos^3{\theta}-\frac{1280}{243}\sqrt{10}\cos{\theta}=\frac{3800}{729}\\
4\cos^{3}{\theta}-3\cos{\theta}=\frac{19 \sqrt{10} }{64}\\
\cos{\left( 3\theta\right) }=\frac{19 \sqrt{10} }{64}\\
3\theta_{1}=\arccos{\left( \frac{19 \sqrt{10} }{64}\right) }\\
3\theta_{2}=\arccos{\left( \frac{19 \sqrt{10} }{64}\right) }+2\pi\\
3\theta_{3}=\arccos{\left( \frac{19 \sqrt{10} }{64}\right) }+4\pi\\
y_{1}=\frac{8}{9} \sqrt{10}\cos{\left( \frac{\arccos{\left( \frac{19 \sqrt{10} }{64}\right) }}{3} \right) }\\
y_{2}=\frac{8}{9} \sqrt{10}\cos{\left( \frac{\arccos{\left( \frac{19 \sqrt{10} }{64}\right) }+2\pi}{3} \right) }\\
y_{3}=\frac{8}{9} \sqrt{10}\cos{\left( \frac{\arccos{\left( \frac{19 \sqrt{10} }{64}\right) }+4\pi}{3} \right) }\\
x_{1}=\frac{8}{9} \sqrt{10}\cos{\left( \frac{\arccos{\left( \frac{19 \sqrt{10} }{64}\right) }}{3} \right) }+\frac{4}{9}\\
x_{2}=\frac{8}{9} \sqrt{10}\cos{\left( \frac{\arccos{\left( \frac{19 \sqrt{10} }{64}\right) }+2\pi}{3} \right) }+\frac{4}{9}\\
x_{3}=\frac{8}{9} \sqrt{10}\cos{\left( \frac{\arccos{\left( \frac{19 \sqrt{10} }{64}\right) }+4\pi}{3} \right) }+\frac{4}{9}\\}\)

Po uproszczeniu powinieneś otrzymać

\(\displaystyle{ x_{1}=1+\sqrt{5}\\
x_{2}=1-\sqrt{5}\\
x_{3}=-\frac{2}{3}\\}\)

Jak widać nie chciało mi się sprawdzać pierwiastków wymiernych bo
wolę metody które dają pewność że po skończonej liczbie kroków
otrzymam rozwiązanie

[Dilectus]

1)

\(\displaystyle{ x ^{3} -2x ^{2} -12x-8>0}\)

Jak łatwo widać ( ), jednym z pierwiastków tego wielomianu jest liczba \(\displaystyle{ -2}\)
Podziel więc ten wielomian przez \(\displaystyle{ x+2}\).

[Mariusz M]

Metoda którą przedstawiłem działa dla każdego równania trzeciego stopnia i wszystkie rzeczy potrzebne
do jej wprowadzenia powinny być licealiście znane przynajmniej ok 15 lat temu

1. Wzory skróconego mnożenia i przekształcanie równań
były już znane w podstawówce
2. Trójmian kwadratowy i wzory Viete'a były wprowadzone w liceum
3. Część wiadomości z trygonometrii była już w podstawówce
w liceum wiadomości te zostały uzupełnione
4. Wiadomości o funkcji
(Co to jest funkcja , złożenie funkcji, funkcja odwrotna )
To też było w liceum

Jak ja chodziłem do szkoły to już z liceum usunęli zespolone
ale podobno wcześniej były