Dzielimy wielomian pomiędzy troje dzieci

[musialmi]

Wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) przy dzieleniu przez dwumiany \(\displaystyle{ x+1, x+2, x-1}\) daje odpowiednio reszty \(\displaystyle{ 2, 3, 6}\). Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez \(\displaystyle{ (x+1)(x+2)(x-1)}\).
Nie mam pojęcia jak to zrobić. Można na podstawie danych wywnioskować stopień \(\displaystyle{ W(x)}\)?

[piasek101]

\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)\cdot (x+1)(x+2)(x-1)+ax^2+bx+c}\)

[musialmi]

Dlatego, że...?

[piasek101]

\(\displaystyle{ W(x):\left(x+1)(x+2)(x-1)\right)=Q(x)\quad reszty\quad R(x)}\) a reszta jest postaci \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\) (zgodnie z odpowiednim twierdzeniem o stopniu reszty przy danym stopniu dzielnika)

[musialmi]

Co to jest za twierdzenie? Szukałem w internecie twierdzeń o reszcie i nie znalazłem niczego, co by konkretnie dało mi odpowiedź. Mamy na przykład na tej stronie pierwsze, co jest na fioletowo. Tu piszą tylko o tym, że \(\displaystyle{ R(x)}\) jest stopnia 0, 1 lub 2. Skąd wiesz, że jest 2? Hm, a może wcale tego nie wiesz i po prostu dopuszczasz najbardziej ogólną możliwość? To by miało sens...

[piasek101]

Ja nie wiem, że jest dwa. Zakładam jej postać bo ma być ,,co najwyżej drugiego stopnia".

Jeśli okaże się, że \(\displaystyle{ a=0}\) to reszta będzie (przy \(\displaystyle{ b\neq 0}\)) stopnia jeden.