Równanie wielomianowe czwartego stopnia

[Askarys]

Rozwiąż równanie:

\(\displaystyle{ x^{4} + x^{3} + 3x^{2} + 2x + 2 = 0}\)

Nie wychodzi mi jakoś ani grupowanie wyrazów ani wynalezienie jednego pierwiastka (co umożliwiłoby stosowanie Bezouta i dzielenie wielomianu), a to jedyne sposoby jakie oferuje mój podręcznik... A równanie zwrotne nie pasuje. Co się robi w tak złośliwych przypadkach?

[Kacperdev]

Pochodne były? Można z badania przebiegu zmienności funkcji wykazać, że ta funkcja nie ma pierwiastków.

[bakala12]

Kombinuje się
\(\displaystyle{ x^{4}+x^{3}+3x^{2}+2x+2=\left( x^{2}+\frac{x}{2}\right) ^{2}+\left( x+1\right)^{2}+\frac{7}{4}x^{2}+1>0}\)

[a4karo]

\(\displaystyle{ x^{4} + x^{3} + 3x^{2} + 2x + 2 =x^{4} + x^{3} + x^{2} +2x^{2} + 2x + 2}\)

@Kacperdev
Co nie znaczy, że nie da się rozłożyć. A pierwiastki ma, tyle, że zespolone

[Kacperdev]

bakala12, oo.. ładne i sprytne.

a4karo nic takiego nie powiedziałem. . Podałem moim zdaniem najprostszą metodę, pod warunkiem, że ma się do dyspozycji odpowiednie narzędzie. Z czepialstwem o pierwiastki zespolone to chyba troszkę Pan przesadził

[bakala12]

bakala12, oo.. ładne i sprytne.

Ładne i sprytne to jest przekształcenie a4karo, bo z mojego równania w liczbach zespolonych nie rozwiążesz a z jego przekształcenia już jak najbardziej.

[Kacperdev]

bakala12, tak ale w twoim od razu pieknie widać, że w \(\displaystyle{ \RR}\) nie ma rozwiązań.

[bakala12]

Kacperdev, no tak, to jest szybsze niż policzenie dwóch delt

[Askarys]

\(\displaystyle{ x^{4} + x^{3} + 3x^{2} + 2x + 2 =x^{4} + x^{3} + x^{2} +2x^{2} + 2x + 2}\)

@Kacperdev
Co nie znaczy, że nie da się rozłożyć. A pierwiastki ma, tyle, że zespolone

<facepalm> no tak, elegancko rozłożone. Dzięki

...dowcip polega na tym że nie miałem ani pochodnych ani pierwiastków zespolonych, więc nie wiem czego tutaj edukacja ode mnie oczekuje

[a4karo]

Naprawdę dla pokazania, że \(\displaystyle{ x^2+2}\) nie ma pierwiastków rzeczywistych trzeba liczyć wyróżnik? ;P

A zadanie brzmiało: rozwiąż równanie, bez sprecyzowania w jakiej dziedzinie -- 25 lis 2014, o 19:20 --A żeby nie wyszło, żem taki cwany, to

[Mariusz M]

Nie wychodzi mi jakoś ani grupowanie wyrazów ani wynalezienie jednego pierwiastka (co umożliwiłoby stosowanie Bezouta i dzielenie wielomianu), a to jedyne sposoby jakie oferuje mój podręcznik... A równanie zwrotne nie pasuje. Co się robi w tak złośliwych przypadkach?

Jeżeli to jest równanie czwartego stopnia to zacznij od równania trzeciego stopnia

Zakładasz że rozwiązanie jest w postaci sumy , korzystasz ze wzoru skróconego mnożenia
grupujesz równanie ,przekształcasz w układ równań będący wzorami Viete
dla pewnego równania kwadratowego

Po drobnej modyfikacji powyższy sposób będzie działał także dla równania czwartego stopnia

Dla równania czwartego stopnia działa także uzupełnianie do kwadratu które pokazałem

Jeżeli są to równania stopnia większego niż cztery to bez funkcji specjalnych
(jak np funkcje hipergeometryczne) zostaje ci szukanie pierwiastków wymiernych
grupowanie , wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia
Bez znajomości pochodnych nie usuniesz pierwiastków wielokrotnych

\(\displaystyle{ x^{4} + x^{3} + 3x^{2} + 2x + 2 = 0\\
x^{4} + x^{3}+\frac{1}{4}x^2+\frac{11}{4}x^2+2x+2=0\\
\left( x^2+\frac{x}{2}\right)^2-\left( -\frac{11}{4}x^2-2x-2\right)=0\\
\left( x^2+\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\right)^2-\left( \left( y-\frac{11}{4}\right)x^2+\left( \frac{1}{2}y -2\right)x+\frac{y^2}{4}-2 \right)=0\\
\Delta=0\\
\left( y^2-8\right)\left( y- \frac{11}{4} \right) -\left( \frac{1}{2}y-2 \right)^2=0\\
y^3-\frac{11}{4}y^2-8y+22-\left( \frac{1}{4}y^2-2y+4 \right)=0\\
y^3-3y^2-6y+18=0\\
y^2\left( y-3\right)-6\left( y-3\right)=0\\
\left( y-3\right)\left( y^2-6\right)=0\\
\left( x^2+ \frac{x}{2}+ \frac{3}{2} \right)^2-\left( \frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4} \right)=0\\
\left( x^2+ \frac{x}{2}+ \frac{3}{2} \right)^2-\left( \frac{1}{2}x- \frac{1}{2} \right)^2=0\\
\left( \left(x^2+ \frac{x}{2}+ \frac{3}{2} \right)-\left(\frac{1}{2}x- \frac{1}{2} \right) \right)\left( \left( x^2+ \frac{x}{2}+ \frac{3}{2} \right)+\left(\frac{1}{2}x- \frac{1}{2} \right) \right)=0\\
\left( x^2+2\right)\left( x^2+x+1\right)=0\\}\)