Równanie wielomianowe czwartego stopnia
Równanie wielomianowe czwartego stopnia
Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ x^{4} + x^{3} + 3x^{2} + 2x + 2 = 0}\)
Nie wychodzi mi jakoś ani grupowanie wyrazów ani wynalezienie jednego pierwiastka (co umożliwiłoby stosowanie Bezouta i dzielenie wielomianu), a to jedyne sposoby jakie oferuje mój podręcznik... A równanie zwrotne nie pasuje. Co się robi w tak złośliwych przypadkach?
\(\displaystyle{ x^{4} + x^{3} + 3x^{2} + 2x + 2 = 0}\)
Nie wychodzi mi jakoś ani grupowanie wyrazów ani wynalezienie jednego pierwiastka (co umożliwiłoby stosowanie Bezouta i dzielenie wielomianu), a to jedyne sposoby jakie oferuje mój podręcznik... A równanie zwrotne nie pasuje. Co się robi w tak złośliwych przypadkach?
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Równanie wielomianowe czwartego stopnia
Kombinuje się
\(\displaystyle{ x^{4}+x^{3}+3x^{2}+2x+2=\left( x^{2}+\frac{x}{2}\right) ^{2}+\left( x+1\right)^{2}+\frac{7}{4}x^{2}+1>0}\)
\(\displaystyle{ x^{4}+x^{3}+3x^{2}+2x+2=\left( x^{2}+\frac{x}{2}\right) ^{2}+\left( x+1\right)^{2}+\frac{7}{4}x^{2}+1>0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22204
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3753 razy
Równanie wielomianowe czwartego stopnia
\(\displaystyle{ x^{4} + x^{3} + 3x^{2} + 2x + 2 =x^{4} + x^{3} + x^{2} +2x^{2} + 2x + 2}\)
@Kacperdev
Co nie znaczy, że nie da się rozłożyć. A pierwiastki ma, tyle, że zespolone
@Kacperdev
Co nie znaczy, że nie da się rozłożyć. A pierwiastki ma, tyle, że zespolone
- Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
Równanie wielomianowe czwartego stopnia
bakala12, oo.. ładne i sprytne.
a4karo nic takiego nie powiedziałem. . Podałem moim zdaniem najprostszą metodę, pod warunkiem, że ma się do dyspozycji odpowiednie narzędzie. Z czepialstwem o pierwiastki zespolone to chyba troszkę Pan przesadził
a4karo nic takiego nie powiedziałem. . Podałem moim zdaniem najprostszą metodę, pod warunkiem, że ma się do dyspozycji odpowiednie narzędzie. Z czepialstwem o pierwiastki zespolone to chyba troszkę Pan przesadził
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Równanie wielomianowe czwartego stopnia
Ładne i sprytne to jest przekształcenie a4karo, bo z mojego równania w liczbach zespolonych nie rozwiążesz a z jego przekształcenia już jak najbardziej.bakala12, oo.. ładne i sprytne.
Równanie wielomianowe czwartego stopnia
a4karo pisze:\(\displaystyle{ x^{4} + x^{3} + 3x^{2} + 2x + 2 =x^{4} + x^{3} + x^{2} +2x^{2} + 2x + 2}\)
@Kacperdev
Co nie znaczy, że nie da się rozłożyć. A pierwiastki ma, tyle, że zespolone
<facepalm> no tak, elegancko rozłożone. Dzięki
...dowcip polega na tym że nie miałem ani pochodnych ani pierwiastków zespolonych, więc nie wiem czego tutaj edukacja ode mnie oczekuje
-
- Użytkownik
- Posty: 22204
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3753 razy
Równanie wielomianowe czwartego stopnia
Naprawdę dla pokazania, że \(\displaystyle{ x^2+2}\) nie ma pierwiastków rzeczywistych trzeba liczyć wyróżnik? ;P
A zadanie brzmiało: rozwiąż równanie, bez sprecyzowania w jakiej dziedzinie -- 25 lis 2014, o 19:20 --A żeby nie wyszło, żem taki cwany, to
A zadanie brzmiało: rozwiąż równanie, bez sprecyzowania w jakiej dziedzinie -- 25 lis 2014, o 19:20 --A żeby nie wyszło, żem taki cwany, to
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Równanie wielomianowe czwartego stopnia
Jeżeli to jest równanie czwartego stopnia to zacznij od równania trzeciego stopniaNie wychodzi mi jakoś ani grupowanie wyrazów ani wynalezienie jednego pierwiastka (co umożliwiłoby stosowanie Bezouta i dzielenie wielomianu), a to jedyne sposoby jakie oferuje mój podręcznik... A równanie zwrotne nie pasuje. Co się robi w tak złośliwych przypadkach?
Zakładasz że rozwiązanie jest w postaci sumy , korzystasz ze wzoru skróconego mnożenia
grupujesz równanie ,przekształcasz w układ równań będący wzorami Viete
dla pewnego równania kwadratowego
Po drobnej modyfikacji powyższy sposób będzie działał także dla równania czwartego stopnia
Dla równania czwartego stopnia działa także uzupełnianie do kwadratu które pokazałem
Jeżeli są to równania stopnia większego niż cztery to bez funkcji specjalnych
(jak np funkcje hipergeometryczne) zostaje ci szukanie pierwiastków wymiernych
grupowanie , wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia
Bez znajomości pochodnych nie usuniesz pierwiastków wielokrotnych
\(\displaystyle{ x^{4} + x^{3} + 3x^{2} + 2x + 2 = 0\\
x^{4} + x^{3}+\frac{1}{4}x^2+\frac{11}{4}x^2+2x+2=0\\
\left( x^2+\frac{x}{2}\right)^2-\left( -\frac{11}{4}x^2-2x-2\right)=0\\
\left( x^2+\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\right)^2-\left( \left( y-\frac{11}{4}\right)x^2+\left( \frac{1}{2}y -2\right)x+\frac{y^2}{4}-2 \right)=0\\
\Delta=0\\
\left( y^2-8\right)\left( y- \frac{11}{4} \right) -\left( \frac{1}{2}y-2 \right)^2=0\\
y^3-\frac{11}{4}y^2-8y+22-\left( \frac{1}{4}y^2-2y+4 \right)=0\\
y^3-3y^2-6y+18=0\\
y^2\left( y-3\right)-6\left( y-3\right)=0\\
\left( y-3\right)\left( y^2-6\right)=0\\
\left( x^2+ \frac{x}{2}+ \frac{3}{2} \right)^2-\left( \frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4} \right)=0\\
\left( x^2+ \frac{x}{2}+ \frac{3}{2} \right)^2-\left( \frac{1}{2}x- \frac{1}{2} \right)^2=0\\
\left( \left(x^2+ \frac{x}{2}+ \frac{3}{2} \right)-\left(\frac{1}{2}x- \frac{1}{2} \right) \right)\left( \left( x^2+ \frac{x}{2}+ \frac{3}{2} \right)+\left(\frac{1}{2}x- \frac{1}{2} \right) \right)=0\\
\left( x^2+2\right)\left( x^2+x+1\right)=0\\}\)