Oblicz minimum funkcji f(x)

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1481
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Oblicz minimum funkcji f(x)

Post autor: NogaWeza »

Witam, mam zadanko konkursowe, co do którego nie byłem pewien jak go zrobić, dlatego chciałem was prosić o pomoc.

Mamy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)}\) i w poleceniu było powiedziane, żeby obliczyć jej minimum. Policzyłem pochodną, która wygląda następująco: \(\displaystyle{ f'(x)=4x^3 + 18x^2 +22x +6}\), ale ciężko z tego policzyć kiedy ta pochodna będzie równa 0. Z tego co sprawdzałem na wolframie, wychodzą wyniki z pierwiastkami, także nawet przybliżony wykres i zgadywanie rozwiązań nie ma tu żadnego sensu.

Proszę o pomoc, wskazówki czy gotowe rozwiązanie z objaśnieniem. Będę bardzo wdzięczny
Pozdrawiam.
Awatar użytkownika
sebnorth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 635
Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
Pomógł: 201 razy

Oblicz minimum funkcji f(x)

Post autor: sebnorth »

Wolfram mówi że jednym z pierwiastków pochodnej jest \(\displaystyle{ -\frac{3}{2}}\)
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Oblicz minimum funkcji f(x)

Post autor: »

Po podstawieniu \(\displaystyle{ x=t-\frac 32}\) dostajemy do zbadania wielomian:
\(\displaystyle{ \left(t- \frac 32 \right) \left(t- \frac 12 \right) \left( t+ \frac 12 \right) \left( t+ \frac 32 \right) = \left( t^2 - \frac 94 \right) \left( t^2 - \frac 14 \right) = \left( t^2 - \frac 54\right)^2-1}\)

Q.
Awatar użytkownika
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1481
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Oblicz minimum funkcji f(x)

Post autor: NogaWeza »

Ok, teraz rozumiem. Gdyby tylko mi się udało zauważyć, że pochodna jest równa zero dla \(\displaystyle{ x=-3/2}\) to byłbym w stanie zredukować ją do równania drugiego stopnia i obliczyć jej pozostałe miejsca zerowe, czyli minima funkcji pierwotnej; a dało się to wywnioskować nawet z przybliżonego wykresu bo był on symetryczny względem właśnie prostej \(\displaystyle{ x=-3/2}\), moje niedopatrzenie. Tak czy siak dziękuję za pomoc
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Oblicz minimum funkcji f(x)

Post autor: Dilectus »

\(\displaystyle{ f'(x)=4x^3 + 18x^2 +22x +6}\)

Wystarczy znaleźć jedno z miejsc zerowych pochodnej. Jak łatwo zgadnąć, jest nim \(\displaystyle{ x= -\frac{3}{2}}\)

Teraz dzielimy wielomian, będący pochodną \(\displaystyle{ f'(x)}\), przez \(\displaystyle{ x+ \frac{3}{2}}\)

\(\displaystyle{ 4x^3 + 18x^2 +22x +6= \left( 4x^2+12x+4\right)\left( x+ \frac{3}{2} \right)}\)

Teraz już z łatwością znajdziesz pozostałe miejsca zerowe pochodnej.

ODPOWIEDZ