Witam, mam zadanko konkursowe, co do którego nie byłem pewien jak go zrobić, dlatego chciałem was prosić o pomoc.
Mamy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)}\) i w poleceniu było powiedziane, żeby obliczyć jej minimum. Policzyłem pochodną, która wygląda następująco: \(\displaystyle{ f'(x)=4x^3 + 18x^2 +22x +6}\), ale ciężko z tego policzyć kiedy ta pochodna będzie równa 0. Z tego co sprawdzałem na wolframie, wychodzą wyniki z pierwiastkami, także nawet przybliżony wykres i zgadywanie rozwiązań nie ma tu żadnego sensu.
Proszę o pomoc, wskazówki czy gotowe rozwiązanie z objaśnieniem. Będę bardzo wdzięczny
Pozdrawiam.
Oblicz minimum funkcji f(x)
- sebnorth
- Użytkownik
- Posty: 635
- Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Pomógł: 201 razy
Oblicz minimum funkcji f(x)
Wolfram mówi że jednym z pierwiastków pochodnej jest \(\displaystyle{ -\frac{3}{2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Oblicz minimum funkcji f(x)
Po podstawieniu \(\displaystyle{ x=t-\frac 32}\) dostajemy do zbadania wielomian:
\(\displaystyle{ \left(t- \frac 32 \right) \left(t- \frac 12 \right) \left( t+ \frac 12 \right) \left( t+ \frac 32 \right) = \left( t^2 - \frac 94 \right) \left( t^2 - \frac 14 \right) = \left( t^2 - \frac 54\right)^2-1}\)
Q.
\(\displaystyle{ \left(t- \frac 32 \right) \left(t- \frac 12 \right) \left( t+ \frac 12 \right) \left( t+ \frac 32 \right) = \left( t^2 - \frac 94 \right) \left( t^2 - \frac 14 \right) = \left( t^2 - \frac 54\right)^2-1}\)
Q.
- NogaWeza
- Użytkownik
- Posty: 1481
- Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 300 razy
Oblicz minimum funkcji f(x)
Ok, teraz rozumiem. Gdyby tylko mi się udało zauważyć, że pochodna jest równa zero dla \(\displaystyle{ x=-3/2}\) to byłbym w stanie zredukować ją do równania drugiego stopnia i obliczyć jej pozostałe miejsca zerowe, czyli minima funkcji pierwotnej; a dało się to wywnioskować nawet z przybliżonego wykresu bo był on symetryczny względem właśnie prostej \(\displaystyle{ x=-3/2}\), moje niedopatrzenie. Tak czy siak dziękuję za pomoc
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Oblicz minimum funkcji f(x)
\(\displaystyle{ f'(x)=4x^3 + 18x^2 +22x +6}\)
Wystarczy znaleźć jedno z miejsc zerowych pochodnej. Jak łatwo zgadnąć, jest nim \(\displaystyle{ x= -\frac{3}{2}}\)
Teraz dzielimy wielomian, będący pochodną \(\displaystyle{ f'(x)}\), przez \(\displaystyle{ x+ \frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ 4x^3 + 18x^2 +22x +6= \left( 4x^2+12x+4\right)\left( x+ \frac{3}{2} \right)}\)
Teraz już z łatwością znajdziesz pozostałe miejsca zerowe pochodnej.
Wystarczy znaleźć jedno z miejsc zerowych pochodnej. Jak łatwo zgadnąć, jest nim \(\displaystyle{ x= -\frac{3}{2}}\)
Teraz dzielimy wielomian, będący pochodną \(\displaystyle{ f'(x)}\), przez \(\displaystyle{ x+ \frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ 4x^3 + 18x^2 +22x +6= \left( 4x^2+12x+4\right)\left( x+ \frac{3}{2} \right)}\)
Teraz już z łatwością znajdziesz pozostałe miejsca zerowe pochodnej.