Równania wielomianowe

[adinho58]

Witam !
Mam problem z tym zadaniem :
Wielomian \(\displaystyle{ W(x) = x^{3} + px +q}\) ma trzy pierwiastki \(\displaystyle{ x_{1},x_{2}, x_{3}}\) przy czym \(\displaystyle{ x_{1} = x_{2}}\) oraz \(\displaystyle{ x_{3}= x_{1} -6}\)

Pomoże mi ktoś zacząć to zadanie ?

[Ania221]

\(\displaystyle{ W(x) = x^{3} + px +q=(x-x_1)(x-x_1)\left[ x-(x_1-6)\right]}\)
Wymnóż prawą stronę i przyrównaj współczynniki przy odpowiadających sobie potęgach.

[bosa_Nike]

Wcześniej zauważ, że pierwiastki tego wielomianu sumują się do zera i stąd można je wyznaczyć.

[adinho58]

Czyli jak je wyznaczyć ? no wiem, że \(\displaystyle{ x= x_{1}}\) bo tyko wtedy dwa pierwsze nawiasy dadzą \(\displaystyle{ 0}\)
a w drugim przypadku \(\displaystyle{ x= x_{1} -6}\)
Niestety moim obliczeń nie mogę przepisać ;/ gubię się w tym Latex-ie

Ale mam przyrównywać to co znajduje się przy \(\displaystyle{ x}\) czy \(\displaystyle{ x _{1}}\) ?

[bosa_Nike]

Wzory Viete'a dla wielomianu trzeciego stopnia określają zależność między współczynikami tego wielomianu, a jego pierwiastkami.
Zauważ, że tutaj współczynnik wiodący (przy najwyższej potędze iksa) jest jedynką, a iksa w kwadracie nie ma, tzn. współczynnik przy nim stojący jest zerem.

[Ania221]

Masz porównywać współczynniki stojące przy niewiadomej w takiej samej potędze. Niewiadomą jest \(\displaystyle{ x}\), czyli przy \(\displaystyle{ x}\)
Po rozpisaniu prawej strony i uporządkowaniu, widzisz, że wsp przy \(\displaystyle{ x^2}\) jest zerowy. Z tego od razu masz wartość \(\displaystyle{ x_1}\)

[adinho58]

No dzięki tym wzorom wyszło bez problemu..
Tylko da radę innym sposobem to rozwiązać ?