Reszty z dzielenia

[Tararil]

Nie wykonując dzielenia wyznaczyć reszty z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q:
\(\displaystyle{ P(x)= x^{2006} +x^{1002}-1}\)
\(\displaystyle{ Q(x)= x^{4} + 1}\)
Wyliczyłem pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ Q(x)}\) i podstawiłem pierwszy z nich, tj. \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i}\). Wolfram obliczył, że \(\displaystyle{ (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i)^{2006} = -i}\). I stąd moje pytanie: Jak udowodnić ten wynik? Skąd on się bierze?

[Premislav]

Z postaci trygonometrycznej i wzoru de Miovre'a się bierze. Liczba zespolona o module \(\displaystyle{ 1}\) jest możliwa do przedstawienia w postaci \(\displaystyle{ \cos \theta+i\sin\theta}\) (a jak ma inny moduł, oznaczmy go jako \(\displaystyle{ r}\), to można ją przedstawić w postaci \(\displaystyle{ r}\) razy to, co napisałem wyżej, dla jakiegoś kąta \(\displaystyle{ \theta}\)). O wzorze de Moivre'a możesz sobie poczytać.
U Ciebie można np. obrać argument kątowy równy \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\).

[Tararil]

Aaaa. Dzięki wielkie.