Długie równanie

[kc358]

Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ 2x^{6}+ 3x^{5}-10x^{4}-14x^{3}+9x^{2}+8x - 4=0}\)
Nie bardzo wiem jak to zrobić, czy to zależy od tego ja kto pogrupujemy i powyciągamy przed nawias?

[leszczu450]

kc358, metoda prób. Spróbuj czy zeruje się to dla \(\displaystyle{ x=2}\) i dla \(\displaystyle{ x=-2}\).

[kc358]

leszczu450, a czy przypadkiem rozwiązań nie szukamy podstawiając dzielniki dla mego przypadku -4?
W odpowiedzi mam:\(\displaystyle{ -2, 1, \frac{1}{2},2, \frac{-1- \sqrt{5} }{2}, \frac{-1+ \sqrt{5} }{2}}\)

[Kacperdev]

Czyli nic innego niż tw. o pierwiastkach wymiernych wielomianu. Odpowiedź sugeruje metodę. Wszystkie cztery pierwiastki znajdziesz z tw. Pozostanie równanie drugiego stopnia dla których pierwiastki wyliczysz ze szkolnej delty.

[wujomaro]

Znajdź dzielniki \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\), i podstawiaj do schematu Hornera, żeby oniżyć stopień wielomianu.
Pozdrawiam!

[leszczu450]

ja w takich dzikich przypadkach szybko sprawdzam te najłatwiejsze czyli \(\displaystyle{ 1,-1,2,-2}\). Wstawiam do schematu Hornera i samo się liczy. : )

[wujomaro]

leszczu450, i najczęściej takie będą.

[kc358]

Czyli korzystam z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu. Dajmy \(\displaystyle{ x_{0}= \frac{p}{q}}\). Czyli \(\displaystyle{ W( x_{0}) = 0}\) I wtedy dzielę wielomian przez dwumian \(\displaystyle{ (x- x_{0})}\). Dostanę wielomian o 1 stopień mniejszy czyli \(\displaystyle{ x^{5}}\) I co dalej? Mam dzielić ten nowy wielomian przez inne pierwiastki aż dostanę równanie kwadratowe?

Edit: Korzystam ze schematu Hornera oczywiście!

[mortan517]

Tak. Ten "bardziej rozłożony" wielomian znowu rozkładasz korzystając z schematu Hornera, po wcześniejszym znalezieniu pierwiastka.

[kc358]

Okej, dzieki wielkie za pomoc!