nie wykonując dzieleń wyznaczyć resztę- wielomiany

[owka]

Nie wykonując dzieleń wyznaczyć reszty z dzielenia wielomiany P(x) przez Q(x)

\(\displaystyle{ P(x)= x^{99} - 2 x^{98} + 4 x^{97}}\)
\(\displaystyle{ Q(x)= x^{4} - 16}\)

wiem, że degR<degQ ⇒ \(\displaystyle{ R(x)= ax^{3}+ bx^{2} + cx + d}\)
\(\displaystyle{ P(x)= Q(x)*I(x)+R(x)}\) ⇒ \(\displaystyle{ P(x)=( x^{4} -16)* I(x)+ R(x)}\)

znajduję pierwszy pierwiastek wielomianu Q(x) podstawiając za x kolejne dzielniki jego wyrazu wolnego, \(\displaystyle{ x_{1}= 2}\)
Korzystająz z twierdzenia Bezouta szukam pierwiastka o stopień niższego i otrzymuję:
\(\displaystyle{ x^{3} + 2 x^{2} + 4x + 8}\)
\(\displaystyle{ (x^{2} +4)(2+x)=0}\) ⇒\(\displaystyle{ x^{2} = -4}\) ∨ x=-2

\(\displaystyle{ x^{2} = -4}\) ⇒x= √-4= √4i²= \(\displaystyle{ \left \{ {{2i} \atop {-2i}} \right.}\)

w efekcie otrzymuję 4 pierwiastki: \(\displaystyle{ x_{1}= 2, x_{2}= -2 , x_{3}= 2i , x_{4} = -2i}\)

układam sobie układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 2^{99} - 2*2^{98} + 4* 2^{97} = 8a + 4b+2c+d\\(-2)^{99} - 2* (-2)^{98} + 4* (-2)^{97} = -8a +4b- 2c+ d\\(2i)^{99} - 2* (2i)^{98} + 4* (2i)^{97} = 8ai -4b+ 2ci+ d\\ (-2i)^{99} - 2* (-2i)^{98} + 4* (-2i)^{97} = 8ai -4b- 2ci+ d \end{array}}\)

... i nie potrafię obliczyć niewiadomych. Popełniłam gdzieś błąd? Jeśli nie- jak rozwiązać taki układ równań?

[Premislav]

Napisz mniejszymi znakami ten układ, to na pewno ktoś przeczyta.
Rszta jest wielomianem stopnia nie większego niż \(\displaystyle{ 3}\), nazwijmy go \(\displaystyle{ R(x)}\).
Jest \(\displaystyle{ P(x)=Q(x) L(x)+R(x)}\) dla pewnego wielomianu \(\displaystyle{ L(x)}\).
Wtedy \(\displaystyle{ P(2)=R(2)}\) oraz \(\displaystyle{ P(-2)=R(-2)}\) a także \(\displaystyle{ P(2i)=R(2i)}\) oraz \(\displaystyle{ P(-2i)=R(-2i)}\) (bo rozumiem, że wielomian jest nad \(\displaystyle{ \CC}\)). Wyliczasz z tego współczynniki reszty i tyle.
Aaa, najwyraźniej to zrobiłaś, tylko trochę inaczej, ślepym. Pierwiastki masz dobre.

[owka]

Faktycznie, układ nie wyglądał zbyt przejrzyście.

Tyle udało mi się wydedukować, problem mam z wyliczeniem współczynników, niemniej- dzięki.

[Premislav]

O, teraz lepiej.
Z czym sobie nie radzisz? W zespolonych normalnie (ab)^{n}=a^{n}b^{n} a ponadto \(\displaystyle{ i^{2}=-1}\), stąd od razu \(\displaystyle{ i ^{4k}=1}\) (podobnie dla \(\displaystyle{ -i}\)), \(\displaystyle{ i ^{4k+2}=-1}\), \(\displaystyle{ i^{4k+1}=i}\),\(\displaystyle{ i ^{4k+3}=-i}\) (dla \(\displaystyle{ k}\) naturalnych wszędzie) i to powinno starczyć.

[owka]

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 2^{99} = 8a+ 4b + 2c + d\\ (-2)^{99} =-8a +4b- 2c +d\\ 2^{99}= 8ai - 4b +2ci + d\\ (-2)^{99} = 8ai- 4b - 2ci + d \end{array}}\)

ale jak pozbyć się \(\displaystyle{ i}\) po prawej stronie?

[Premislav]

Dlaczego poznikały Ci wszystkie \(\displaystyle{ i}\) po lewej? Tam gdzie wykładniki były nieparzyste (\(\displaystyle{ 97}\),\(\displaystyle{ 99}\)), nie powinno się tak stać, popatrz na to, co wyżej napisałem.
W ogóle to ja czegoś nie jestem pewien, jak masz napisane, w zadaniu, współczynniki są z \(\displaystyle{ \CC}\) czy z \(\displaystyle{ \RR}\)? Bo jak z \(\displaystyle{ \RR}\) to po prostu w każdym równaniu muszą być równe części rzeczywiste i urojone, a jeśli z \(\displaystyle{ \CC}\), to nie ma tak dobrze. Ale też nie jest tragicznie, bo można m.in. odjąć stronami trzecią równość od czwartej, dodać stronami pierwszą do drugiej, itd.

[owka]

w zadaniu nie mam tego w ogóle uwzględnionego.
Pozbywając się \(\displaystyle{ i}\) tak działałam:

lewa strona 3 równania
\(\displaystyle{ 2^{99} * (i^{2})^{49} * i + 2^{2} * 2^{97} * (i^{2})^{48} * i - 2 * 2^{98} * (i^{2})^{49} * 2^{97} \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ 2^{99} * (-i) + 2^{99} * i - 2^{99} * (-1) \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ -2^{99}i+ 2^{99}i + 2^{99}}\)
\(\displaystyle{ i(2^{99} - 2^{99}) + 2^ {99}}\)

rozumiem, że nie powinnam tak robić...

[Premislav]

Faktycznie dobrze z tymi \(\displaystyle{ i}\), po prostu nie liczyłem tego, a ładnie się skraca. Przepraszam za zamieszanie.
Jeśli naprawdę nie masz w zadaniu informacji, czy wielomiany te mają współczynniki z \(\displaystyle{ \RR}\) czy ogólnie z \(\displaystyle{ \CC}\), to jakkolwiek zrobisz, nic Ci nie będzie można zarzucić.

[owka]

Dziękuję za pomoc