Pierwiastki równań wielomianowych.

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
seiwopurk 1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 10 sty 2014, o 16:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zielona Góra

Pierwiastki równań wielomianowych.

Post autor: seiwopurk 1 »

Proszę o rozwiązanie poniższych równań zależy mi najbardziej na podanie przedostatnich wzorów z ich rozwiązań, tzn. nie mają być same wyniki.;
a)\(\displaystyle{ n ^{4}+3n ^{2}+n=0}\)
b)\(\displaystyle{ n ^{4}+3n ^{2}+n-30=0}\)
c)\(\displaystyle{ -x ^{3}+2x ^{2}-1=0}\)
Dziękuje.
Ostatnio zmieniony 1 lis 2014, o 16:37 przez Ponewor, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Zadanie z LXVI Olimpiady Matematycznej.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Pierwiastki równań wielomianowych.

Post autor: Premislav »



Gdybyś chciał jednak sam rozwiązać, co trochę więcej Ci da, to twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu w sumie by tu starczało, a w pierwszym przykładzie nawet to nie jest potrzebne, bo widać, że \(\displaystyle{ 0}\) jest pierwiastkiem i można sobie rozłożyć...
szw1710

Pierwiastki równań wielomianowych.

Post autor: szw1710 »

No tak - można. Szkopuł w tym, że wielomian trzeciego stopnia występujący w rozkładzie na czynniki nie ma pierwiastków wymiernych i trzeba stosować chwyty nieznane ogółowi 17-latków. Myślę o wzorach Cardano. Ale nie trzeba ich znać. Poniższa idea prowadzi w ogólności do uzyskania tych wzorów.

Mamy wielomian \(\displaystyle{ n^3+3n+1}\). Jako funkcja \(\displaystyle{ n}\) jest on rosnący (dlaczego?). Więc ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty. Postulujemy \(\displaystyle{ n=u+v}\) i liczymy. Wstawiamy do równania:

\(\displaystyle{ (u+v)^3+3(u+v)+1=0}\), skąd \(\displaystyle{ (u^3+v^3+1)+3(uv+1)(u+v)=0}\).

Równanie będzie (w szczególności, nie w ogólności, ale to nam wystarczy) spełnione, jeśli \(\displaystyle{ u^3+v^3=-1}\) oraz \(\displaystyle{ uv=-1}\). Mamy więc \(\displaystyle{ u^3v^3=-1}\) i mnożąc pierwsze równanie przez \(\displaystyle{ v^3}\) dostajemy \(\displaystyle{ -1+v^6+v^3=0}\). Jest to równanie trójkwadratowe i łatwo z niego wyliczymy \(\displaystyle{ v}\). Potem doliczamy \(\displaystyle{ u}\).

Proszę wybaczyć ewentualne błędy rachunkowe przed północą. Ważniejsza jest idea postępowania.
seiwopurk 1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 10 sty 2014, o 16:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zielona Góra

Pierwiastki równań wielomianowych.

Post autor: seiwopurk 1 »

Jak mam obliczyć \(\displaystyle{ u,v}\) skoro ich sześciany wynoszą \(\displaystyle{ \frac{-1+ \sqrt{5} }{2} , \frac{-1- \sqrt{5} }{2}}\)
szw1710

Pierwiastki równań wielomianowych.

Post autor: szw1710 »

Normalnie - zostawić w spokoju i doliczyć \(\displaystyle{ v}\). Nawiasem mówiąc, to już je masz. Jedno jest \(\displaystyle{ u}\), a drugie będzie \(\displaystyle{ v}\). Sprawdź to.

Tak więc \(\displaystyle{ u=\sqrt[3]{\frac{-1+ \sqrt{5} }{2}}}\), natomiast \(\displaystyle{ v=\sqrt[3]{\frac{-1- \sqrt{5} }{2}}}\)

Oczywiście to, co mówię o \(\displaystyle{ v}\), wymaga formalnego przeliczenia.
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Pierwiastki równań wielomianowych.

Post autor: Mariusz M »

\(\displaystyle{ n ^{4}+3n ^{2}+n-30}\)

Zauważ że w tym wielomianie współczynnik przy \(\displaystyle{ n}\)
jest różny od zera

Możesz porównać go z iloczynem dwóch trójmianów postaci

\(\displaystyle{ \left( n^2-pn+q\right)\left( n^2+pn+r\right)}\)

\(\displaystyle{ n ^{4}+3n ^{2}+n-30=\left( n^2-pn+q\right)\left( n^2+pn+r\right)}\)

Idea przedstawiona przez szw1710,
jest ogólna pod warunkiem że znasz liczby zespolone
Jeśli znasz trygonometrie to przypadek gdy równanie trójkwadratowe nie ma pierwiastków
rzeczywistych też rozwiążesz
Jeśli chodzi o równanie czwartego stopnia to idea przedstawiona przez szw1710, też działa
Łatwiej jednak wpaść na to aby porównać wielomian z iloczynem dwóch trójmianów kwadratowych
ODPOWIEDZ