Pierwiastki równania czwartego stopnia.

[seiwopurk 1]

Witam. Mam problem z rozwiązaniem równania czwartego stopnia. Ciągle mi nie wychodzi, byłbym wdzięczny za rozpis rozwiązania.
\(\displaystyle{ n ^{4}-2n ^{3}+n=0}\)

[lukasz1804]

\(\displaystyle{ n^4-2n^3+n=n^4-2n^3+n^2-n^2+n=n^2(n-1)^2-n(n-1)}\)

[seiwopurk 1]

\(\displaystyle{ n^4-2n^3+n=n^4-2n^3+n^2-n^2+n=n^2(n-1)^2-n(n-1)}\)

pierwszy pierwiastek wynosi \(\displaystyle{ 0}\) a drugi \(\displaystyle{ \frac{n-1+n-1}{2(n-1) ^{2} }}\) a przecież wiem, że pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ 1}\)

[piasek101]

Skąd Ty to masz ?

Wcześniej przecież dostałeś (w zasadzie) postać iloczynową.

[seiwopurk 1]

\(\displaystyle{ (n-1) ^{2}n ^{2}-(n-1)n=0}\)
więc \(\displaystyle{ a=(n-1) ^{2}, b=-(n-1) , c=0}\)
z wzoru na pierwiastek jest \(\displaystyle{ \frac{2(n-1)}{2(n-1) ^{2} }}\) a to jest równe\(\displaystyle{ \frac{1}{n-1}}\)

[piasek101]

Ale (a);(b) i (c) nie mogą zawierać niewiadomej.

Wyłącz \(\displaystyle{ n(n-1)}\) przed nawias.

[seiwopurk 1]

Ale (a);(b) i (c) nie mogą zawierać niewiadomej.

Wyłącz \(\displaystyle{ n(n-1)}\) przed nawias.

tak czy siak wychodzi mi równanie \(\displaystyle{ n ^{2}-n-1=0}\) którego pierwiastkiem nie jest 1! tylko złota liczba!

[Konradek]

\(\displaystyle{ W(n)=n^4-2n^3+n}\)
\(\displaystyle{ W(n)=n(n^3-2n^2+1)}\)
\(\displaystyle{ W(1)=0 \Leftrightarrow (n-1)}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ W(n)}\)

Wykorzystujesz schemat Hornera i otrzymujesz:

\(\displaystyle{ W(n)=n(n-1)(n^2-n-1)}\)

i ten w nawiasie rozkładasz za pomocą delty:

\(\displaystyle{ W(n)=n(n-1)(n- \frac{1+ \sqrt{5} }{2})(n- \frac{1- \sqrt{5} }{2})}\)

Zatem \(\displaystyle{ W(n)=0 \Longleftrightarrow n \in \left\{ 0, 1, \frac{1+ \sqrt{5} }{2}, \frac{1- \sqrt{5} }{2}\right\}}\)

O to chodziło?

[piasek101]

A dlaczego (1) miałoby być ?

Jeśli (n) jest naturalne to kwadratowe nie ma rozwiązań, jeśli jest rzeczywiste to ma dwa.

[seiwopurk 1]

Dzięki już wszystko wiem.